UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Unidad Curricular: Matemática I Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Ciudad Ojeda, Febrero de 2016 FUNCIONES

INDICADOR DE LOGRO Unidad curricular: Matemática I Conocer, evaluar y graficar las funciones elementales, estudiando dominio, rango intersecciones con los ejes, simetrías desplazamientos según los ejes y crecimiento.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Unidad curricular: Matemática I Una función f de un conjunto A a un conjunto B, es un vínculo que asigna a cada elemento de “x” de A un elemento único “y” de B. Dominio x Rango y f: A B En dos conjuntos cualesquiera denominados A y B, todo elemento de A se relaciona con un elemento de B.

TIPOS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Función Constante Función Identidad

TIPOS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Función Afín Función Cuadrática

TIPOS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Función Potencial Función Racional

TIPOS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Funciones Trigonométricas

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Dominio de una función: Conjunto de valores de x que hacen que la función exista dentro del campo de los números reales. Rango de una función: Conjunto de valores de Y que son imágenes de los valores de X. Gráfica de una función: Conjunto de puntos (x, y), donde: {(x, y) /x є Df, y є R} Y X Y X NO FUNCIÓN SI FUNCIÓN

CARACTERÍSTICAS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Y X (a, 0) (0, a) Corte: En un plano cartesiano todos los puntos que están sobre el eje X tienen como abscisa a “a” y como ordenada 0 y viceversa. Crecimiento y Decrecimiento: Y X x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) Y X x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE

CARACTERÍSTICAS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I SIMETRÍA Función Par: Una función es par si f(x) = f(-x). SIMÉTRICA AL EJE Y 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +1 𝑓 −𝑥 = − 𝑥 2 +1= 𝑥 2 +1 𝑓 𝑥 =2𝑥+5 𝑓 −𝑥 = −2𝑥 +5= -2𝑥+5 ES PAR NO ES PAR Función Impar: Una función es par si f(x) = -f(-x). SIMÉTRICA AL ORIGEN 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −𝑓 −𝑥 =− (−𝑥) 3 = 𝑥 3 𝑓 𝑥 =2𝑥+5 −𝑓 −𝑥 =−(−2𝑥+5)= 2𝑥−5 ES IMPAR NO ES IMPAR

FUNCIÓN AFÍN Unidad curricular: Matemática I Función Afín: Se define como función afín a toda expresión de la forma: f(x) = mx + b donde m, b є R. Pendiente de la recta: Si m = 0 la recta es horizontal, siendo α=0 Si m > 0 la recta estará inclinada hacia la derecha 0° < α < 90° Si m < 0 la recta estará inclinada hacia la izquierda 90° < α 180° Y X x₁ x₂ f(x₁) Y X x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) Y X x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) a b c

EJERCICIO DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática I Dada la siguiente función: Y = 2x + 5 Y = x + 3/2 Y= -4/5x Y= -3/5x +7 Estudie las funciones anteriores y analice: dominio, rango, corte con los ejes coordenados y construya su gráfica.

FUNCIÓN CUADRÁTICA Unidad curricular: Matemática I Función Cuadrática: Se define como función cuadrática a toda expresión de la forma f 𝑥 = 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐, donde a, b y c son números reales y a≠0 Representación Gráfica: La representación gráfica de la función cuadrática en el plano real, es una curva llamada parábola. x y x y a > 0 a < 0

FUNCIÓN CUADRÁTICA Unidad curricular: Matemática I Dominio de la función: El dominio de la función es el conjunto de los números reales (R). Rango de la función: Se estudiará en términos del valor de “a”: Si a > 0, el Rg: 𝑓= −𝐷 4𝑎 ,+∞) Si a < 0, el Rg: 𝑓= −∞, −𝐷 4𝑎 Siendo “D” el discriminante de la función cuadrática y se calcula: 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 El discriminante es una expresión que nos permite determinar los diferentes tipos de soluciones que existen en una ecuación. Dependiendo del resultado es el tipo de soluciones encuentras: D > 0 hay 2 diferentes soluciones reales. D = 0 la soluciones son repetidas, o sea las mismas. D < 0 hay 2 diferentes soluciones y son complejas o imaginarias.

FUNCIÓN CUADRÁTICA Unidad curricular: Matemática I Corte con los ejes coordenados: Con el eje Y: Haciendo x = 0, se obtiene que la parábola corta al eje Y en el punto donde Y vale c (Y = c) Con el eje X: Los cortes en el eje X, se analizan en función del discriminante y la expresión: 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Vértice de la Parábola: El vértice de la parábola se halla mediante la fórmula: 𝑉= −𝑏 2𝑎 , −𝐷 4𝑎

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática I En la funciones cuadráticas siguientes, realice su estudio y grafique: 𝑦= 𝑥 2 −4𝑥+3 𝑦= 4 5 𝑥 2 −6𝑥+9

FUNCIÓN POTENCIAL Unidad curricular: Matemática I Función Potencial: Es de la forma 𝑓 (𝑥) =𝑎 𝑏𝑥+ℎ 𝑛 +𝑘, donde ℎ 𝑏 y k representan el desplazamiento horizontal y vertical de la función respectivamente y n ∈ Z; n puede ser par o impar. Representación Gráfica: La representación gráfica de la función potencial depende del valor de “n”. Si el exponente de la función potencial es IMPAR las gráficas se parecen a una cúbica. Si el exponente de la función potencial es PAR las gráficas se parecen a una función cuadrática.

FUNCIÓN POTENCIAL CON EXPONENTE IMPAR Unidad curricular: Matemática I F(x)= x³ F(x)= x⁵ F(x)= x¹¹

FUNCIÓN POTENCIAL CON EXPONENTE PAR Unidad curricular: Matemática I F(x)= x³ F(x)= x⁵ F(x)= x¹¹ F(x)= x² F(x)= x⁴ F(x)= x⁶