Modelado de funciones Exponenciales y Logarítmicas Pre Cálculo 1 Ing. Abio Alberto Alvarado Maldonado Semana 9

Propósito Resolver correctamente problemas de modelado de funciones exponenciales y logarítmicas.

𝑛 𝑡 = 𝑛 0 𝑒 𝑟𝑡 𝑚 𝑡 = 𝑚 0 𝑒 −𝑟𝑡 𝑁 𝑡 = 𝐾 𝑎+𝑏 𝑒 −𝑟𝑡 Modelo de crecimiento exponencial 𝑛 𝑡 = 𝑛 0 𝑒 𝑟𝑡 Modelo de decaimiento radiactivo 𝑚 𝑡 = 𝑚 0 𝑒 −𝑟𝑡 Modelo Logístico 𝑁 𝑡 = 𝐾 𝑎+𝑏 𝑒 −𝑟𝑡

Un granjero cuenta al inicio con 200 carneros, la tasa de crecimiento es de 13,24% anual, sigue un crecimiento exponencial. Determina el modelo de crecimiento. Determina la cantidad que tendrá en una década. ¿En qué tiempo tendrá 500 carneros? 𝑛 𝑡 = 𝑛 0 𝑒 𝑟𝑡 Solución: a) modelo de crecimiento: b) En 10 años: 𝑛 0 =200 𝑛 10 =200 𝑒 0,1324 . 10 𝑟=0,1324 𝑛 10 = 751,68 Por lo que: 𝑛 𝑡 =200 𝑒 0,1324𝑡 En 10 años tendrá:751 carneros

c) ¿En qué tiempo tendrá 500 carneros? 𝑛 𝑡 =200 𝑒 0,1324𝑡 El modelo es: Por lo que: En 7 años se tendrá 500 carneros Reemplazamos: 500=200 𝑒 0,1324𝑡 Dividimos entre 200: 2,5= 𝑒 0,1324𝑡 Aplicamos ln: ln2,5=ln 𝑒 0,1324𝑡 ln2,5=0,1324.t 𝑡= ln2,5 0,1324 𝑡=6,92

La masa m(t) restante después de t días de una muestra de 60g de cierto material radiactivo está dada por: a) ¿Después de 5 días cuál es la cantidad de muestra restante? b) ¿Después de 38 días cuál es la cantidad de muestra restante? c) Determina la vida media a) En 5 días: b) En 38 días: 𝑚 5 =60 𝑒 −0,0344 . 5 𝑚 38 =60 𝑒 −0,0344 . 38 𝑚 5 =50,5188 𝑚 38 =16,2346 En 5 días habrá 50,5188 g En 38 días habrá 16,2346 g

c) Vida media: es el tiempo en que el material radiactivo se redice a la mitad del inicial 𝑚 𝑡 =60 𝑒 −0,0344 . 𝑡 El modelo es: Por lo que: La vida media es de 20,15 días Reemplazamos: 30=60 𝑒 −0,0344𝑡 Dividimos entre 60: 0,5= 𝑒 −0,0344𝑡 Aplicamos ln: ln0,5=ln 𝑒 −0,0344𝑡 ln0,5=−0,0344.t 𝑡= ln0,5 −0,0344 𝑡=20,15

El número de conejos de una granja después de t meses se modela mediante la función. ¿Cuál fue el número inicial de conejos? ¿Cuántos conejos habrá en 16 meses? 𝑃(𝑡)= 25000 2+18 𝑒 −0,38𝑡 a) Al inicio t=0: b) En 16 meses: 𝑃(16)= 25000 2+18 𝑒 −0,38 . 16 𝑃(0)= 25000 2+18 𝑒 −0,38 . 0 𝑃(16)= 1227,7 𝑃(0)= 125 Inicialmente hay 125 conejos En 16 mese habrá 1228 conejos

Por tu tiempo…