Profesor: Miguel Ángel Martín Mato Gestión de Riesgos Value at Risk Profesor: Miguel Ángel Martín Mato 1

Distintos tipos de riesgo Riesgo de reinversión Riesgo de crédito Riesgo de iliquidez Riesgo país Riesgo de tipo de cambio Riesgo operativo Riesgo de mercado

Riesgo: algunos aspectos por considerar Un problema esencial asociado al término es que no se cuenta con una definición única para “riesgo”. Se pueden obtener ventajas relativas al trabajar con distintas técnicas para implementar su medición. Del diccionario: Contingencia o proximidad de un daño (un “risco”) El peligro o la posibilidad de sufrir pérdidas El monto que una compañía puede perder La variabilidad de los retornos de una inversión La posibilidad de no recibir el pago de una deuda Cada una de las contingencias que pueden ser objeto de un contrato de seguro

Visión intuitiva del riesgo de mercado Puntos por considerar: La oscilación de las variables económicas clave. Cambios en el perfil de riesgo de una empresa, de un patrimonio o de una emisión particular. Valor de la diversificación de portafolio: riesgo diversificable y riesgo no diversificable. Límites impuestos a la diversificación (legales o institucionales). Consecuencias Efectos directos e indirectos sobre el valor de los componentes de un portafolio. Efecto acumulado sobre el valor total del portafolio.

Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico Algunas medidas de riesgo simétrico: Desviación estándar y varianza Desviación absoluta respecto a la media Algunas medidas de riesgo asimétrico: Semidesviación estándar Probabilidades empíricas de pérdida Value-at-Risk

Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico Distribución asimétrica hacia ganancias Resultado esperado Distribución asimétrica hacia pérdidas

Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico Ambas tienen el mismo riesgo simétrico Los indicadores asimétricos identifican la segunda distribución de resultados como más riesgosa que la primera Distribución asimétrica hacia ganancias Resultado esperado Distribución asimétrica hacia pérdidas

Definición del Value-at-Risk Presupuestos Es posible reunir información representativa sobre los posibles resultados de una inversión en el corto plazo. Datos históricos o supuestos expertos Esta información permite describir el futuro (“comportamiento estable”) Tres elementos distintivos de la definición El Value-at-Risk incorpora: Criterio asimétrico Horizonte de inversión Significancia estadística

Definición del Value-at-Risk Es la máxima pérdida esperada dentro de un horizonte de inversión de “n” días con una probabilidad de error de “α”% Criterio asimétrico Horizonte de inversión Significancia estadística

Qué es Value at Risk (VaR) El VaR resume la pérdida máxima esperada (o peor pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo objetivo dentro de un intervalo de confianza dado. El cálculo del VaR está dirigido a elaborar un reporte de la siguiente forma: Se tiene una certeza de X% de que no se perderá más de V dólares en los siguientes N días V es el VaR de N -días para un nivel de confianza de X% Según la propuesta del Comité de Basilea el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones) y según la metodología de RiskMetrics es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones).

Metodologías VaR alternativas Las similitudes Los tres métodos buscan estimar un valor crítico para las pérdidas potenciales. Las diferencias Cada método realiza distintos supuestos acerca de qué valores son representativos sobre las futuras pérdidas potenciales y cómo éstas se distribuyen estadísticamente. Método “Analítico” (Delta Normal) Método “Montecarlo” (Simulaciones) Método “Histórico” (Histogramas)

Metodologías VaR alternativas Método “Analítico” (Delta Normal) Método “Montecarlo” (Simulaciones) Método “Histórico” (Histogramas)

VaR Analítico - Delta Normal Supuestos El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar. Se asume que la distribución es normal (y, por ello, simétrica), con media y varianza conocidas. Sin embargo… ¿Es realmente normal? Problemas de estabilidad de medias y varianzas ¿De dónde procede la información sobre media y varianza? ¿Y los momentos superiores? A partir de los supuestos sobre la distribución, es posible calcular directamente el percentil de riesgo apropiado.

VaR Analítico - Delta Normal Probabilidad de ocurrencia -2% -1% 0% 1% 2% Posibles valores de la variable aleatoria

VaR Analítico - Delta Normal Probabilidad de ocurrencia Posibles valores de la variable aleatoria μ -3σ μ -2σ μ-1σ μ μ +1σ μ +2σ μ +3σ 68.26% 95.44% 99.74%

VaR Analítico - Delta Normal Probabilidad de ocurrencia 5% 90% 5% Posibles valores de la variable aleatoria Con una probabilidad de 95% en una cola … =DISTR.NORM.ESTAND.INV(5%)= -1.6448 Valor crítico: 1.6448 Desviaciones estándar

VaR Analítico - Delta Normal Generalización Si llevamos esta generalidad a una distribución normal N(m,s) tendríamos que normalizar para calcular qué valor de “x” se superará con una probabilidad de 5%.

VaR Analítico - Delta Normal Los dos componentes: la media y la volatilidad La media (μ) de los rendimientos suele calcularse como el promedio aritmético de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Distinguir la diferencia entre media aritmética y geométrica en este caso. La volatilidad (σ) de los rendimientos se aproxima utilizando la desviación estándar de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Conversión de plazos Es común (aunque no recomendable) convertir los rendimientos y volatilidades de un día en sus correspondientes anuales del siguiente modo:

VaR Analítico - Delta Normal Período de anulación de riesgo El periodo de Anulación de Riesgo (Defeasance Period), es el horizonte de tiempo elegido al cual se hará referencia para el cálculo de la medida de riesgo. Las medidas de riesgo vendrán referenciadas en función de ese horizonte temporal. Rendimiento: Volatilidad:

VaR Analítico - Delta Normal El intervalo de confianza Según la propuesta del Comité de Basilea[1] el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2.33 desviaciones estándar) a 10 días. Según la metodología de RiskMetrics[2] es de un 95% (5% de probabilidad y -1.65 desviaciones estándar) a 1 día. [1] Banco de Pagos Internacionales, “Amendment to the Capital Accord to Incorporate Markets Risk”, Comité de Basilea, Basilea, Suiza, Enero de 1996. [2] Riskmetrics “Technical Document” – JP Morgan 1996

Dow Jones desde enero de 1997 hasta marzo del 2001

Data-> 1302 días Mean -> 0. 000553448 StandardDeviation -> 0 Data-> 1302 días Mean -> 0.000553448 StandardDeviation -> 0.0112249 Kurtosis -> 6.78236 Skewness -> -0.489853

Asunción de Normalidad Data-> 252 días Mean -> -0.0000567592 Skewness -> -0.101167 Kurtosis -> 3.557397 StandardDeviation -> 0.0109072

Metodologías VaR alternativas Método “Analítico” (Delta Normal) Método “Montecarlo” (Simulaciones) Método “Histórico” (Histogramas)

VaR Montecarlo Supuestos El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar. Se asume que la distribución es una distribución conocida (no necesariamente normal o simétrica). Para ello es posible utilizar algún procedimiento de ajuste o bootstrapping. Sin embargo… ¿Es necesario que una serie de rendimientos se distribuya siguiendo un patrón conocido? Problemas de estabilidad de parámetros

VaR Montecarlo Procedimiento En síntesis A partir de los supuestos sobre las distribuciones y sus covarianzas, es posible generar numerosos rendimientos futuros hipotéticos. Mediante la combinación de dichos retornos, se puede estimar resultados alternativos del portafolio y formar así un histograma empírico. Finalmente, a partir de este histograma, se puede estimar el percentil de riesgo apropiado. En síntesis Se asume que las distribuciones son conocidas y se generan numerosos “mundos imaginarios” que siguen estas distribuciones. El VaR se calcula comparando dichos escenarios simulados.

Movimiento Browmiano

Simulación de Montecarlo 1) Selección un proceso estocástico y sus parámetros. 2) Elección de la amplitud de periodo u horizonte de tiempo. 3) Selección de la serie de variables aleatorias. 4) Cálculo del pronóstico al final del horizonte temporal. 5) Creación de numerosos caminos aleatorios y de sus precios finales. 6) Cálculo de la distribución de los precios finales 7) Cálculo del VaR 8) Simulación con un mayor número de caminos aleatorios.

Selección de la serie de variables aleatorias: 10 pasos {7715.4, 7747.79, 7838.4, 7945.7, 8071., 8061.95, 7968.63, 7996.51, 8014.19, 8008.27, 8225.35}

Simulación: 50 pasos {8231.28, 8326.23, 7752.63, 7515.54, 7692.93, 7722.12, 7406.46, 8215.77,7733.26, 7708.26, 7667.66, 7987.14, 7659.5, 7724.84, 7505.23, 7607.72, 7960.08, 7215.38, 7663.24, 7633.67, 7740.72, 7823.22, 7952.66, 7272.22, 7703.3, 8171.57, 7435.34, 7850.22, 7851.2, 7836.13, 7618.75, 7606.02, 7762.65, 7480.32, 8018.9, 7843.87, 7689.99, 7695.14, 7600.88, 7699.05, 7423.71, 7759.96, 8210.56, 7269.68, 7564.04, 7829.16, 7473.52, 7795.48, 8258.2, 7581.22}

200 caminos

500 caminos

Histograma: 200 VaR= 7094 - 7703.24=-609.24 puntos de indice Mean -> 7707.1, StandardDeviation -> 256.394, Skewness -> 0.0282609, Kurtosis -> 2.80355 VaR= 7094 - 7703.24=-609.24 puntos de indice

Histograma:500 VaR=7107.14 - 7707.1=-599.96 puntos de índice

Metodologías VaR alternativas Método “Analítico” (Delta Normal) Método “Montecarlo” (Simulaciones) Método “Histórico” (Histogramas)

VaR Histórico Supuestos Procedimiento A diferencia de los dos primeros métodos, este enfoque no realiza supuestos sobre la manera de “suavizar” la distribución de los retornos. Se mantiene el supuesto previo de que el comportamiento pasado es representativo del futuro cercano. Procedimiento Se utiliza el propio histograma empírico de los retornos históricos para calcular el nivel de pérdidas crítico. Notar que los patrones de covarianza entre variables se incorporan directamente en el procedimiento.

VaR Histórico – Síntesis del proceso Variables actuales Cambios históricos Valores posibles Tasas de interés Tasas de interés Tasas de interés Tipos de cambio Tipos de cambio Tipos de cambio + = Spreads de riesgo Spreads de riesgo Spreads de riesgo Índices bursátiles Índices bursátiles Índices bursátiles Histograma de valores posibles Valoración del portafolio

¿Qué hay más allá del Value-at-Risk?: Conditional Value at Risk

¿Por qué el VaR no es suficiente? Los trabajos de Artzner y Delbaen (1997), demuestran que el VaR tiene características indeseables: Falta de subaditividad Falta de convexidad Por ello, de modo agregado se dice que el VaR no es una medida “coherente” de riesgo. El VaR únicamente es coherente cuando está basado en distribuciones continuas normalizadas (ya que para una distribución normal el VaR es proporcional a la desviación estándar).

¿Qué es el CVaR? Definición El Conditional-Value-at-Risk (CVaR) a un nivel de confianza dado es la pérdida esperada entre las pérdidas que son mayores que el VaR. Dicho de otra forma, es la pérdida esperada que es más grande o igual que el VaR. [Uryasev S., y Rockafellar, R.T 2000] Implicancias Es un promedio de las pérdidas que exceden el VaR. Va a ser un indicador que no sólo tiene en cuenta el VaR sino también las pérdidas extremas de la distribución.

Acción de Yahoo VaR -> -4.899% CVaR-> -7.166%

Acción de Yahoo (Variantes) CVaR-> -9.125% CVaR-> -11.29%

Resumen de las ventajas del CVaR El CVAR calcula riesgos más allá del VAR lo que la hace una medida más conservadora, puesto que por definición así lo exige, por lo que el CVAR domina al VAR. El CVAR tiene la propiedad de ser una función siempre convexa respecto a las posiciones lo que permite la optimización en la posición de una cartera. El CVAR es continuo respecto al nivel de confianza. Es consistente con la aproximación de mínima varianza, ya que la cartera de mínima varianza es la que minimiza también el CVAR.

Sol Meliá Telefónica BSCH 486 observaciones

Carteras de dos acciones - Telefónica y BSCH CVaR VaR Valor del portafolio Telefónica Evolución del VaR y del CVaR en función a la proporción invertida en Telefónica (w1) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día. 61.22% Telefónica 38.78% BSCH CVaR -> 5.190%

El VaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH Evolución del VaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día.

El CVaR para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH Evolución del CVaR en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w1) , Telefónica (w2) y BSCH (1- w1 - w2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día. 48.94% Sol Meliá 46.03% Telefónica 5.03% BSCH CVaR -> 4.530%

CVaR Histórico (1)

CVaR Histórico (2)

CVaR Histórico (3)

CVaR Histórico (4)

Descomposición del Value at Risk

Descomposición del VaR (1) Incremental VaR Marginal VaR Portfolio VaR 100% Posición en un activo

Descomposición del VaR (2) Beta VaR Busca repartir el riesgo total entre cada una de las inversiones individuales, usando como coeficiente el índice “beta” entre el rendimiento del activo individual y el rendimiento de la cartera en su totalidad.

VaR No diversificado El VaR Histórico de la cartera Es el percentil “α” del vector “Rj”. Sea “V” la posición en el vector “Rj” en la que se localiza el escenario VaR (por lo tanto “VaR = RV”). El VaR Diversificado de cada activo “k” será “RV,k”. El VaR No Diversificado de cada activo “k” será el percentil “α” del vector “Rj,k”.

Descomposición VaR por factor de riesgo El análisis “Risk factor decomposition” permite examinar el impacto aislado de los factores de riesgo de mercado sobre las pérdidas máximas esperadas de cada activo. Los tres factores de mercado considerados son: Riesgo de tipo de cambio. Incluye los efectos de todos los tipos de cambio entre la moneda base y otras monedas. Riesgo de tasa de interés. Incluye todos los segmentos de las curvas de tasa de interés relevantes para todos los activos de renta fija y derivados. Riesgo bursátil. Incluye los precios de acciones e índices, pudiendo afectar a acciones, opciones sobre acciones e instrumentos de renta fija indexados.

Descomposición VaR por factor de riesgo La descomposición por factor de riesgo se realiza asumiendo, para cada factor, los cambios del escenario crítico que da lugar al VaR de la cartera (es decir, el escenario histórico que se halla en el percentil crítico), manteniendo el resto de factores de riesgo constantes. Por ejemplo, se evalúa únicamente el impacto de los cambios críticos en los tipos de cambio sobre el valor de la posición de cada activo de la cartera, manteniendo el resto de factores de riesgo constantes.

Contribution VaR El Contribution VaR constituye una descomposición que permite medir la participación de cada activo como parte del total de pérdidas de cartera que superan al VaR. se define como la proporción de pérdidas que igualan o exceden el VaR atribuible a cada activo. En otros términos, indica qué porcentaje de las pérdidas extremas totales que podrían superar el VaR se deben a cada activo.

Contribution VaR

VaR Marginal El VaR Marginal expresa el cambio esperado en el valor del VaR de la cartera ante pequeñas variaciones en la posición de un activo. Método Histórico Implica revalorar la cartera teniendo en cuenta la nueva posición en el activo Método paramétrico Emplea la derivada de la función VaR. Un VaR Marginal negativo indicaría que cada unidad adicional invertida en el activo incrementará la pérdida VaR esperada en la magnitud del VaR Marginal. Puede afirmarse también que una reducción de la posición en una unidad monetaria reduciría la pérdida esperada en dicha magnitud.

VaR Marginal El VaR Marginal (en unidades monetarias) se define como:

VaR Incremental Es el cambio que se produciría en el VaR como resultado de la liquidación completa de la posición en un activo determinado. Las dos principales diferencias con el VaR Marginal son que: La recomposición en la cartera puede corresponder en algunos casos a posiciones significativas. Los resultados numéricos no son directamente comparables entre sí, sino que deben analizarse a la luz las posiciones absolutas iniciales en cada activo.

VaR Incremental

Aplicación del Value at Risk: 7 lecciones importantes

Primera lección G.I.G.O. (Garbage in… garbage out) Aspectos por considerar Cuidado con la forma de calcular rendimientos Un VaR a “n” días debería ser calculado utilizando rendimientos a “n” días. No es lo mismo calcular un retorno a 1 día y reexpresarlo utilizando el principio de las potencias. Cuidado con las eliminaciones de datos Al emplear el análisis histórico, debe cuidarse que todas las variables consideradas utilicen las mismas fechas de datos. Si se encuentran vacíos, es necesario reexpresar los retornos para que todos se encuentren en la misma base de tiempo

Segunda lección Usar el método más robusto En un mercado ilíquido y poco profundo, se presentan: Discontinuidades en los rendimientos “Colas anchas” (incertidumbre producida por casos extremos) Histogramas caprichosos Siempre que sea posible, conviene utilizar el método histórico para procesar la información. Considerar que también existen mecanismos de análisis de riesgo más robustos que el VaR CVaR BetaVaR IncrementalVaR…

Tercera lección Identificar claramente los factores de mercado ¿A qué factores de riesgo está expuesto el valor de la cartera? Tasas de interés ¿Es plana la curva de retornos? ¿Se desplaza paralelamente o puede girar? ¿Son constantes los spreads de riesgo por categoría? Tipos de cambio ¿En qué moneda se busca preservar el valor? Índices bursátiles ¿Es posible asociar el retorno de activos individuales a índices sectoriales, selectivos o generales?

Cuarta lección Reconocer que habrá información faltante… …e implementar soluciones consistentes ¿Qué hacer con los activos que no tienen precios de mercado? Renta fija: valoración teórica cuidadosa Renta variable: uso cuidadoso de índices y sensibilidades Alternativa integral: usar el vector de precios ¿Qué hacer con las tasas de interés? Es necesario construir curvas de retornos para los distintos tipos de inversiones (nacionales, soberanas, internacionales). Observar la necesidad de realizar interpolaciones y evitar los “andenes”.

Quinta lección Integrar el análisis de riesgo en la plataforma operativa El análisis VaR debe ser permanente Idealmente, la institución debería poder contar con la información actualizada diariamente. Esto implica un reto a nivel del flujo de datos precisos sobre posiciones y cotizaciones de instrumentos. El considerable volumen de datos involucrados introduce el riesgo de errores humanos. Debe buscarse incorporar la generación de reportes de riesgo de modo automatizado.

Sexta lección Calibrar el sistema a las necesidades de la empresa Utilizar el VaR ajustado a la media y el VaR relativo ¿Cuánto se desvía la pérdida máxima del nivel esperado? ¿Cuánto representa la pérdida como proporción de la cartera? Imponer límites a la exposición de riesgo Definir un sistema de alertas en función de las pérdidas relativas proyectadas. Poner a prueba su eficacia Utilizar procedimientos de back-testing para corroborar la capacidad predictiva del sistema y realizar los ajustes necesarios.

Sétima lección Distinguir el propósito de reporte normativo y el propósito de gestión de riesgo Los reportes solicitados por la Superintendencia de Banca pueden ser útiles con fines regulatorios, pero no necesariamente ofrecen la mejor evidencia para dirigir la empresa. Puntos por considerar: Definir claramente el ámbito de la “cartera” sujeta a riesgo. Acercarse a los usuarios finales de los reportes de riesgo. Explorar la demanda de información. Capacitar a los potenciales usuarios. Permitir decisiones informadas. Un mismo reporte no es para todos. Explicitar las “funciones objetivo” de cada área y cada funcionario. Incorporar en la cadena a personal especializado. No perder de vista: “¿Qué hay más allá del VaR?”

Método analítico V:= vector de flujos W:=vector de proporciones

VaR Incremental El VaR incremental tiene por objeto calcular cuál es el VaR que aporta cada FM al VaR total de la cartera. Mide cual es la contribución al riesgo de un activo al portafolio de la cartera

VaR Incremental

Análisis Empírico: Medidas Clásicas vs. Medidas Modernas

Características de los Bonos Tabla 20.1 Características de los Bonos

Estadísticos y gráficos de la evolución de los rendimientos: SERIE 2000-2003 SERIE 1993-1997 Fuente: Reserva federal

Medidas Clásicas de Gestión Tabla 20.4 Medidas Clásicas de los bonos

La cartera con mayor convexidad es la Cartera 6 (con 71.427). CAMBIOS PARALELOS La cartera con mayor convexidad es la Cartera 6 (con 71.427). Le sigue la Cartera 3 (con 71.373 de convexidad). CAMBIOS NO PARALELOS La Cartera 19 y la Cartera 20 serían las mejores ya que la Cartera 19 minimiza el M-2 y la Cartera 20 minimiza el Ñ. Tabla 20.5 Medidas clásicas de las carteras

Asumiendo Normalidad Principales Carteras 1993-1997

Distribuciones Reales VaR y CVaR de las Principales Carteras 1993-1997 VaR y CVaR de las Principales Carteras 2000-2003

OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 1993-1997 W1 = 40.35% W9 = 59.65% CVaR = 5.824% Dm = 4.045 Cnx = 26.749 M2= 5.28 CARTERA 4 W2 = 34.932% W9 = 65.058% CVaR = 6.250% Dm = 4.322 Cnx = 29.048 M2= 5.286 CARTERA 2 W1 = 45.495% W10 = 54.505% CVaR = 5.393% Dm = 4.941 Cnx = 43.157 M2= 18.014 CARTERA 5 W2 = 43.04% W10 = 56.96% CVaR = 5.819% Dm = 5.118 Cnx = 45.038 M2= 18.014 CARTERA 3 W1 = 40.059% W11 = 56.941% CVaR = 5.443% Dm = 7.366 Cnx = 112.407 M2= 99.303 CARTERA 6 W1 = 41.42% W9 = 58.58% CVaR = 5.869% Dm = 7.548 Cnx = 115.603 M2= 99.30

OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 2000-2003 W1 = 33.99% W9 = 66.01% CVaR = 10.386% Dm = 4.373 Cvx = 29.447 M2= 9.013 CARTERA 4 W2 = 33.92% W9 = 57.08% CVaR = 10.707% Dm = 4.374 Cvx = 29.476 M2= 4.374 CARTERA 2 W1 = 32.52% W10 = 67.48% CVaR = 10.302% Dm = 5.886 Cvx = 17.443 M2= 17.443 CARTERA 5 W2 =32.51% W10 = 68.49% CVaR = 10.638% Dm = 5.885 Cvx = 53.094 M2= 17.456 CARTERA 3 W1 = 32.17% W11 = 67.83% CVaR = 9.934% Dm = 8.589 Cvx = 133.629 M2= 72.589 CARTERA 6 W1 = 40.52% W9 = 59.48% CVaR = 10.238% Dm = 7.649 Cvx = 117.350 M2= 65.667