CÁLCULO VECTORIAL VECTORES

VECTORES CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Definición de vector Cantidades vectoriales ÁLGEBRA VECTORIAL Sistemas de referencia Igualdad entre vectores Múltiplos de un vector Adición de vectores Productos vectoriales

CANTIDADES ESCALARES ESCALAR Cantidades que pueden caracterizarse exclusivamente con un número

CANTIDADES VECTORIALES

CANTIDADES VECTORIALES Segmento de línea dirigido.

SISTEMAS DE REFERENCIA

SISTEMAS DE REFERENCIA Sistema de referencia en una dimensión: Recta R 1

SISTEMAS DE REFERENCIA Sistema de referencia n dimensiones: n Rectas R n

SISTEMAS DE REFERENCIA Sistema de coordenadas rectangulares: Los ángulos entre los ejes coordenados son de 90°

SISTEMAS DE REFERENCIA 2 Dimensiones: R Coordenadas cartesianas 2

SISTEMAS DE REFERENCIA 2 Dimensiones: R Coordenadas polares 2

SISTEMAS DE REFERENCIA Coordenadas Coordenadas polares cartesianas r = [x + y ] q = tan (y/x) 1/2 2 2 x = r cos q y = r sen q

SISTEMAS DE REFERENCIA 3 Dimensiones: R Coordenadas cartesianas 3

SISTEMAS DE REFERENCIA 3 Dimensiones: R Coordenadas cilíndricas 3

SISTEMAS DE REFERENCIA 3 Dimensiones: R Coordenadas esféricas 3

SISTEMAS DE REFERENCIA Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas x = r cos q y = r sen q z = z r = [x + y ] q = tan (y/x) z = z 1/2 2 Coordenadas cartesianas Coordenadas esféricas r = [x + y + z ] q = tan (y/x) f = z / [x + y + z ] 2 2 2 1/2 x = r cos q sen F y = r sen q sen F z = r cos F 2 2 2 1/2

IGUALDAD A = B

PRODUCTO POR ESCALAR xA = B 2 A = B

PRODUCTO POR ESCALAR (-1) A = - A

PRODUCTO POR ESCALAR Propiedades x ( yA ) = (xy) A = xy A (x + y) A = xA + yA 0A = 0 (-1)A = -A A / |A| = A

VECTORES UNITARIOS

VECTORES UNITARIOS

ADICIÓN DE VECTORES 5 - 8 = - 3

ADICIÓN DE VECTORES A B A + B

ADICIÓN DE VECTORES C = A + B 2 2 2 C = A + B – 2 AB cos a

ADICIÓN DE VECTORES A y B vectores base C = aA + bB

ADICIÓN DE VECTORES C = A – B = A + (– B)

ADICIÓN DE VECTORES Propiedades A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) 0 + A = A A + -A = 0 x (A + B) = xB + xA

ADICIÓN DE VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES 30

ADICIÓN DE VECTORES Ejercicio Un cuadro que pesa 8 N se aguanta mediante dos cables que ejercen tensiones T1 y T2, tal como lo indica la figura. Determinar la tensión de los cables. 31

ADICIÓN DE VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES r = x i + y j + z k Vector de posición Base canónica i, j, k A = Ax i + Ay j + Az k Suma por componentes B = Bx i + By j + Bz k A + B = (Ax+ Bx)i + (Ay+ By) j + (Az+ Bz) k C = Cx i + Cy j + Cz k

ADICIÓN DE VECTORES Ejercicio Una partícula se desplaza en el plano XY de modo que sus coordenadas x y y varían con el tiempo según x(t)= At3 + Bt y y(t) = Ct2 + D, donde A = 1.00 m/s3, B = - 32.0 m/s, C = 5.0 m/s2 y D = 12.0 m. Calcule su posición a) t1 = 3 s, b) t2 = 5 s, c) el desplazamiento y c) la velocidad promedio durante ese intervalo de tiempo .

ADICIÓN DE VECTORES Ejercicio Un avión se encuentra en la posición (3,4,5) dada en km, al medio día y viaja con una velocidad en km por hora. El piloto avista un aeropuerto en la posición (23,29,0). (a) ¿A qué hora pasará el avión sobre el aeropuerto? (b) ¿Cuál será la altura del avión cuando pase por el aeropuerto? v = 400 i + 500 j - k

ADICIÓN DE VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES

PRODUCTOS VECTORIALES A B = A veces B = B veces A

PRODUCTOS VECTORIALES 3 x 2 = 3 veces 2

PRODUCTOS VECTORIALES 3 x 2 = 2 x 3 = 2 veces 3

PRODUCTOS VECTORIALES Producto Escalar Producto Punto Producto Interno . . A B = AB cos f = BA cos f = B A

PRODUCTOS VECTORIALES Producto entre vectores unitarios i i = (1)(1) cos (0) = 1 . j j = (1)(1) cos (0) = 1 . k k = (1)(1) cos (0) = 1 . . i j = (1)(1) cos (p/2) = 0 j k = (1)(1) cos (p/2) = 0 . k i = (1)(1) cos (p/2) = 0 .

PRODUCTOS VECTORIALES Producto escalar A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k A B = (Ax i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k) (Ax i) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax j) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax k) (Bx i + By j + Bz k)

PRODUCTOS VECTORIALES . A B = (Ax i) (Bx i) + (Ax i) (By j) + (Ax i) (Bz k)+ (Ay j) (Bx i) + (Ay j) (By j) + (Ay j) (Bz k)+ (Az k) (Bx i) + (Az k) (By j) + (Az k) (Bz k)+ = (Ax Bx) + (Ay By) + (Az Bz)

PRODUCTOS VECTORIALES Propiedades A B = B A A (B + C) = A B + A C m (A B) = (m A) B = A (m B) = (A B) m A A = A = Ax + Ay + Az |A | = (A A) A B = 0 A B . 2 1/2

PRODUCTOS VECTORIALES Producto Vectorial Producto Cruz A x B

PRODUCTOS VECTORIALES

PRODUCTOS VECTORIALES A x B = AB sen f

PRODUCTOS VECTORIALES Producto entre vectores unitarios i x i = (1)(1) sen (0) = 0 j x j = (1)(1) sen (0) = 0 k x k = (1)(1) sen (0) = 0 i x j = (1)(1) sen (p/2) = 1 j x k = (1)(1) sen (p/2) = 1 k x i = (1)(1) sen (p/2) = 1

PRODUCTOS VECTORIALES Producto entre vectores unitarios i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0 j x i = - k i x j = k k x j = - i j x k = i i x k = - j k x i = j

PRODUCTOS VECTORIALES A x B = (Ax i) x (Bx i) + (Ax i) x (By j) + (Ax i) x (Bz k)+ (Ay j) x (Bx i) + (Ay j) x (By j) + (Ay j) x (Bz k)+ (Az k) x (Bx i) + (Az k) x (By j) + (Az k) x (Bz k)+ = ¿?