RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO U.D. 10 * 2º BCT RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS EN EL ESPACIO U.D. 10.4 * 2º BCT POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. POSICIONES DE RECTAS POSICIONES DE DOS RECTAS.   1.- Rectas que se cruzan. No tienen ningún punto en común y no están contenidas en un mismo plano. 2.- Rectas secantes. Tienen un punto en común. 3.- Rectas paralelas. No tienen ningún punto en común y están contenidas en un mismo plano. 4.- Rectas coincidentes. Tienen todos sus puntos en común. r r s s r r = s s @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SISTEMA MATRICIAL Consideremos las rectas r(A,u) y s(B,v). Sean las ecuaciones continuas: r ≡ (x – xA ) / ux = (y – yA ) / uy = (z – zA ) / uz s ≡ (x – xB ) / vx = (y – yB ) / vy = (z – zB ) / vz De las mismas extraemos las ecuaciones implícitas necesarias: r ≡ { (x – xA ). uy = (y – yA ). ux ; (y – yA ). uz = (z – zA ). uy } s ≡ { (x – xB ). vy = (y – yB ). vx ; (y – yB ). vz = (z – zB ). vy } Tomamos las cuatro ecuaciones implícitas y formamos un sistema: a1.x + b1.y + c1.z = d1 a1 b1 c1 d1 a2.x + b2.y + c2.z = d2  Matriz (A / AM) = a2 b2 c2 d2 a3.x + b3.y + c3.z = d3 a3 b3 c3 d3 a4.x + b4.y + c4.z = d4 a4 b4 c4 d4 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SISTEMA MATRICIAL Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes, (A). Rango (A) = h Hallamos el rango de la matriz ampliada, (AM) Rango (AM) = h’ Y tenemos cuatro casos posibles: CASO 1 h = 3, h’ = 4  RECTAS CRUZADAS. CASO 2 h = 3, h’ = 3  RECTAS SECANTES. CASO 3 h = 2, h’ = 3  RECTAS PARALELAS. CASO 4 h = 2, h’ = 2  RECTAS COINCIDENTES. Lo anterior es la aplicación del Teorema de Rouché-Flobenius en las rectas @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RECTAS CRUZADAS Sea la recta r que pasa por los puntos A(1,0,0) y B(1, 1, 0) Sea la recta s que pasa por los puntos C(1,0, 1) y D(0,1,1) Estudiar si son cruzadas, secantes, paralelas o coincidentes.   RESOLUCIÓN Vector director de la recta AB, r  u = (1 – 1 , 1 – 0 , 0 – 0 ) = (0, 1, 0) Vector director de la recta CD, s  v = (0 – 1 , 1 – 0 , 1 – 1 ) = (– 1 , 1, 0) Ecuación vectorial de r: (x,y,z) = (1, 0, 0)+ λ.(0 , 1, 0) Ecuación vectorial de s: (x,y,z) = (1, 0, 1)+ λ.(– 1 , 1, 0) Ecuación paramétrica de r: x = 1 , y = λ , z = 0 Ecuación paramétrica de s: x = 1 – λ , y = λ , z = 1 Ecuación continua de r: x = 1 , z = 0 Ecuación continua de s: 1 – x = y , z = 1 Resuelvo matricialmente. s v B AB r u A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. … Rectas cruzadas … RESOLUCIÓN Ecuación continua de r: x = 1 , z = 0 Ecuación continua de s: 1 – x = y , z = 0 Resuelvo matricialmente. x = 1 1 0 0 1 0 0 1 z = 0 A = 0 0 1 (AM) = 0 0 1 0 x + y = 1 1 1 0 1 1 0 1 z = 1 0 0 1 0 0 1 1 (A)= Matriz coeficientes. Rango de A = h = 3 (AM) = Matriz ampliada. Resolvemos por adjuntos de segunda fila: 1 0 1 |AM| = – 1 1 1 1 = – 1.1 = – 1 <> 0  Rango AM = h’ = 4 0 0 1 h = 3, h’ = 4  Rectas que se cruzan. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RECTAS SECANTES Sea la recta r que pasa por los puntos A(1 , 0 , 0) y B(0 , 1 , 1) Sea la recta s que pasa por los puntos C(0 , 0 , 1) y D(1 , 1 , 0) Estudiar si son cruzadas, secantes, paralelas o coincidentes.   RESOLUCIÓN Vector director de la recta AB, r  u = (0 – 1 , 1 – 0 , 1 – 0 ) = (– 1 , 1, 1) Vector director de la recta CD, s  v = (1 – 0 , 1 – 0 , 0 – 1 ) = (1 , 1 , –1) Ecuación vectorial de r: (x,y,z) = (1, 0, 0)+ λ.( – 1 , 1, 1) Ecuación vectorial de s: (x,y,z) = (0, 0, 1)+ λ.(1 , 1 , – 1) Ecuación paramétrica de r: x = 1 – λ, y = λ , z = λ Ecuación paramétrica de s: x = λ , y = λ , z = 1 – λ Ecuación continua de r: x – 1 = – y , z = y Ecuación continua de s: z – 1 = – y , x = y Resuelvo matricialmente. s v B AB r Pi u A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. … Rectas secantes … RESOLUCIÓN Ecuación continua de r: x – 1 = – y , z = y Ecuación continua de s: z – 1 = – y , x = y Resuelvo matricialmente. x + y = 1 1 1 0 1 1 0 1 y – z = 0 A = 0 1 – 1 (AM) = 0 1 –1 0 x – y = 0 1 – 1 0 1 –1 0 0 y + z = 1 0 1 1 0 1 1 1 (A)= Matriz coeficientes. Rango de A = h = 3 (AM) = Matriz ampliada. Resolvemos por adjuntos de primera columna: 1 –1 0 1 0 1 |AM| = +1· –1 0 0 + 1· 1 –1 0 = – 1 + 1 = 0  Rg AM = h’ <> 4 1 1 1 1 1 1 h = 3, h’ = 3  Rectas secantes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. … Punto intersección … RESOLUCIÓN Resuelvo matricialmente por el método de Gauss: x + y = 1 1 1 0 1 1 1 0 1 y – z = 0 A/AM = 0 1 – 1 0 = F3 – F1 = 0 1 –1 0 x – y = 0 1 – 1 0 0 F4 – F2 0 –2 0 –1 y + z = 1 0 1 1 1 0 0 2 1 F2 + F3 / 2 y F2 +F4 / 2 1 1 0 1 1 1 0 1 A / AM = 0 0 0 0 = F3 / (-2) = 0 1 0 1/2 = F1 – F2 = 0 –2 0 –1 F4 / 2 0 0 1 1/2 0 0 2 1 Obtengo finalmente: x = ½ , y = ½ , z = ½  PI (½ , ½ , ½) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RECTAS PARALELAS Sea la recta r que pasa por los puntos A(1 , 0 , 0) y B(0 , 1 , 0) Sea la recta s que pasa por los puntos C(1 , 0 , 1) y D(0 , 1 , 1) Estudiar si son cruzadas, secantes, paralelas o coincidentes.   RESOLUCIÓN Vector director de la recta AB, r  u = (0 – 1 , 1 – 0 , 0 – 0 ) = (– 1 , 1, 0) Vector director de la recta CD, s  v = (0 – 1 , 1 – 0 , 1 – 1 ) = (–1 , 1 , 0) Ecuación vectorial de r: (x,y,z) = (1, 0, 0)+ λ.(– 1 , 1, 0) Ecuación vectorial de s: (x,y,z) = (1, 0, 1)+ λ.(–1 , 1 , 0) Ecuación paramétrica de r: x = 1 – λ , y = λ , z = 0 Ecuación paramétrica de s: x = 1 – λ , y = λ , z = 1 Ecuación continua de r: x – 1 = – y , z = 0 Ecuación continua de s: x – 1 = – y , z = 1 Resuelvo matricialmente. s v r B u AB A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. … Rectas paralelas … RESOLUCIÓN Ecuación continua de r: x – 1 = – y , z = 0 Ecuación continua de s: x – 1 = – y , z = 1 Resuelvo matricialmente. x + y = 1 1 1 0 1 1 0 1 z = 0 A = 0 0 1 (AM) = 0 0 1 0 x + y = 1 1 1 0 1 1 0 1 z = 1 0 0 1 0 0 1 1 (A)= Matriz coeficientes. Rango de A = h = 2 (AM) = Matriz ampliada. Resolvemos por adjuntos de primera columna: 0 1 0 1 0 1 |AM| = +1· 1 0 1 + 1· 0 1 0 = – 1 + 1 = 0  Rg AM = h’ <> 4 0 1 1 0 1 1 h’ = 3, pues hay un |3x3|<>0 h = 2, h’ = 3  Rectas paralelas. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RECTAS COINCIDENTES Sea la recta r que pasa por los puntos A(1 , 0 , 0) y B(2 , 1 , 1) Sea la recta s que pasa por los puntos C(3 , 2 , 2) y D(4 , 3 , 3) Estudiar si son cruzadas, secantes, paralelas o coincidentes.   RESOLUCIÓN Vector director de la recta AB, r  u = (2 – 1 , 1 – 0 , 1 – 0 ) = ( 1 , 1, 1) Vector director de la recta CD, s  v = (4 – 3 , 3 – 2 , 3 – 2 ) = ( 1 , 1 , 1) Ecuación vectorial de r: (x,y,z) = (1, 0, 0)+ λ.( 1 , 1, 1) Ecuación vectorial de s: (x,y,z) = (3, 2, 2)+ λ.( 1 , 1 , 1) Ecuación paramétrica de r: x = 1 + λ , y = λ , z = λ Ecuación paramétrica de s: x = 3 + λ , y = 2 + λ , z = 2 + λ Ecuación continua de r: x – 1 = y , z = y Ecuación continua de s: x – 3 = y – 2 , y = z Resuelvo matricialmente. B u v AB A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. … Rectas coincidentes … RESOLUCIÓN Ecuación continua de r: x – 1 = y , z = y Ecuación continua de s: x – 3 = y – 2 , y = z Resuelvo matricialmente. x – y = 1 1 –1 0 1 – 1 0 1 y – z = 0 A = 0 1 –1 (AM) = 0 1 –1 0 x – y = 1 1 –1 0 1 –1 0 1 y – z = 1 0 1 – 1 0 1 –1 1 (A)= Matriz coeficientes. Rango de A = h = 2 (AM) = Matriz ampliada. Resolvemos por adjuntos de primera columna: Al tener dos a dos filas iguales  Rango |AM| = h’ <=2 Hay determinantes de orden 2 no nulos  Rango (AM) = 2 h = 2, h’ = 2  Rectas coincidentes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.