Equipo 7 -Ayala sanjuan Luis Antonio -Villa González Jonathan Aldair -rayón Ochoa Victor Eduardo -Sierra González Héctor Alejandro

índice 6.5 Problema de correspondencia de post e indecibilidad. 6.6 “Halting problem” e indecibilidad. 6.7 Problemas de P y NP en el espacio y en el tiempo.

6.5 Problema de correspondencia de post e indecibilidad.

Alan Turing Padre de la Informática. Creador de la famosa “Máquina de Turing”, la cual es capaz de computar y proporciona una definición matemática y precisa de algoritmo.

Límites en la computación En la computación hay dos límites importantes: •Hay ciertas cosas que nunca podrán computarse. •Hay ciertas cosas que nunca podrán computarse eficientemente. 

¿Qué es computable? ¿Qué problemas puede resolver la máquina de Turing? No todos los problemas pueden ser resueltos. Un problema indecidible es uno que no puede ser resuelto con un algoritmo aunque se disponga de espacio y tiempo ilimitado.

Problema decidible Existe un algoritmo tal que para cada fórmula del sistema es capaz de decidir en un número finito de pasos si la fórmula es válida o no en el sistema.

Problema indecidible En teoría de la computabilidad y en teoría de la complejidad computacional, un problema indecidible es un problema de decisión para el cual es imposible construir un algoritmo sencillo que siempre conduzca a una respuesta sí o no correcta.

Problema de la parada Dada una Máquina de Turing M y una palabra w, determinar si M terminará en un número finito de pasos cuando es ejecutada usando w como dato de entrada. En pocas palabras "Dado un programa y su entrada, decidir si ese programa terminará para esa entrada o si correrá indefinidamente. “

Con este problema Turing llegó a concluir que: "no existe una manera automática computable de saber si todos los programas del mundo terminan. No se niega que exista la prueba para programas concretos. "

Correspondencia de Post   Propuesto por Emil Post. Dado un diccionario bilingüe que contiene pares de frases, es decir, listas de palabras, que significan lo mismo, decidir si existe una frase que significa lo mismo en ambos lenguajes.

Al ser más sencillo que el problema de parada y el de decisión resulta útil para demostrar pruebas de decidibilidad. Por este problema se construyó la máquina de Post que es una máquina determinista con una cola.

Definición del problema de correspondencia de POST

aba bbb aab bb a aaa abab babba Ejemplo: Demuestre si el PCP tiene respuesta afirmativa o negativa en este caso A = {aba, bbb, aab, bb} B = {a, aaa, abab, babba} Para obtener una visión mas clara del problema hay que verlo como una colección de bloques aba bbb aab bb a aaa abab babba i=1 i=2 i=3 i=4

Ejemplo: Considere el problema de la correspondencia de post (PCP) planteado sobre las siguientes cadenas A=(10,110) y B=(1,01): A) Demuestre si el PCP tiene respuesta afirmativa o negativa en este caso 10 110 1 01 i=1 i=2

6.6 “Halting problem” e indecibilidad.

“Halting problem” (Problema de la parada) Es un problema que consiste en determinar si un determinado programa o máquina de Turing parará alguna vez o tendrá una ejecución indefinida. 

Explicación Para intentar resolver este problema, Turing imaginó una máquina equipada con una “caja negra, o un “oráculo” el cual sería un mecanismo que llevaría a cabo las tareas “no computables”. El oráculo consistiría en un dispositivo medidor perfecto, más una memoria que contiene un valor T de cierta magnitud física. T es un número irracional y su propiedad sería que en sus dígitos representaría lo programas que terminan y los que no. Hoy en día no existe ninguna forma practicable de materializar un oráculo.

6.7 Problemas de P y NP en el espacio y en el tiempo.

Problemas P, NP Un algoritmo es eficiente si existe una Maquina de Turing determinista que lo ejecute con una complejidad temporal polinómica. A la clase de los algoritmos eficientes se la denomina clase P.

Existen algoritmos no deterministas que no siguen un flujo fijo, sino que actúan en función de una serie de decisiones tomadas en tiempo real. De entre los algoritmos no deterministas existe un amplio conjunto de ellos que pueden considerarse eficientes, pero es indemostrable que estén en P, debido precisamente a que no son deterministas. A esta clase de problemas se les llama NP.

Clases P y NP La clase P de lenguajes está compuesta por todos los lenguajes que acepta alguna Máquina de Turing determinista que tiene una cota temporal polinómica. La clase NP se compone por todos los lenguajes que acepta alguna Maquina de Turing no determinista con una cota temporal polinómica.

Un ejemplo de problema NP es el conocido problema de Hamilton: dado un conjunto de puntos, ¿puede encontrase un camino que pase una sola vez por cada uno los puntos? Un algoritmo determinista para resolver el problema es muy costoso, sin embargo, dada una posible solución, resulta muy sencillo comprobar que es válida.

En este terreno el problema principal que podemos plantearnos es el siguiente: ¿es el conjunto NP igual al conjunto P? Este es el llamado problema P-NP, y todavía no tiene solución. Es evidente que P ⊂ NP, pero para poder demostrar que la igualdad se cumple habría que demostrar que todo problema NP es también P, es decir, habría que encontrar una forma de transformar una Máquina de Turing no determinista con cota temporal polinómica en una Máquina de Turing determinista con cota temporal también polinómica.

Definición Se dice que un lenguaje L1 es reducible en tiempo polinómico a un lenguaje L2 si hay una función f computable en tiempo polinómico para la cual f(u) ∈ L2 si u ∈ L1. Se utiliza la notación n <p para indicar que L1 es reducible en tiempo polinómico a L2. Observar que si L1 <p L2 entonces determinar si w ∈ L1 no es más difícil que determinar si f(w) ∈ L2. Basándonos en la misma idea podemos decir que un problema es reducible en tiempo polinómico a otro

Fuentes Teorías de Autómatas y Lenguajes Formales Colección manuales uex - 55 Elena Jurado Málaga 55, Espacio Europeo Educación Superior, universidad de Extremadura. http://antropicos.blogspot.mx/2008/01/saber-cuando-parar.html