UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Unidad Curricular: Matemática II Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Raga, Esp. Ciudad Ojeda, enero 2017 LÍMITES Y CONTINUIDAD

INDICADOR DE LOGRO Unidad curricular: Matemática II Aplicar la definición y propiedades de los límites, resolviendo problemas propuestos.

INTRODUCCIÓN Unidad curricular: Matemática II Un límite matemático, expresa la tendencia de una función mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor. Esta noción de “acercarse cada vez más a algo, pero sin tocarlo”, es muy importante en matemáticas y tiene que ver con el concepto de límite, que es fundamental para el Cálculo. Básicamente, se considera que una variable “se acerca al máximo” a un valor específico, y se examina el efecto que esto tiene sobre los valores de la función.

INTRODUCCIÓN Unidad curricular: Matemática II lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −1 𝑥−1 Por ejemplo, si se considera la función: lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −1 𝑥−1 X < 1 X > 1 x f(x) 0.8 2.44 1.2 3.64 0.9 2.71 1.1 3.31 0.95 2.8525 1.05 3.1525 0.99 2.9701 1.01 3.0301 0.995 2.985025 1.005 3.015025 0.999 2.997001 1.001 3.003001

INTRODUCCIÓN Unidad curricular: Matemática II lim 𝑥→2 𝑓(𝑥) =𝑥+3 Por ejemplo, si se considera la función: lim 𝑥→2 𝑓(𝑥) =𝑥+3 X < 2 X > 2 X f(x) x 1.5 4.5 2.5 5.5 1.9 4.9 2.1 5.1 1.95 4.95 2.05 5.05 1.99 4.99 2.01 5.01 1.999 4.999 2.001 5.001

DEFINICIÓN DE LÍMITE Unidad curricular: Matemática II El límite de f(x) cuando x tiende a “c” es el número L, y ello se escribe: lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) =𝐿 Si f(x) está arbitrariamente cerca de L para toda “x” suficientemente cercana a “c”, pero no igual a “c”. Es importante recordar que cuando se determina un límite, lo importante NO es lo que le sucede a f(x) cuando x es igual a “c”, sino sólo lo que le ocurre cuando x está cerca de c.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Unidad curricular: Matemática II Teorema 1. Si a є R, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑥= 𝑎 Teorema 2. Límite de una constante Si c = constante, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑐=𝑐 Teorema 3. Límite de una combinación lineal Si c = constante y 𝑓 (𝑥) una función, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑐∙ 𝑓 (𝑥) =𝑐∙ lim 𝑥→𝑎 𝑓 (𝑥)

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Unidad curricular: Matemática II Teorema 4. Si m = cte, b = cte, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑚𝑥+𝑏 =𝑚𝑎+𝑏 Teorema 5. Límite de una suma Si lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)=𝐺 y lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥)=𝐻 , con G y H є R, entonces: lim 𝑥→𝑎 [𝑔 𝑥 +ℎ 𝑥 ]= lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 + lim 𝑥→𝑎 ℎ 𝑥 =𝐺+𝐻 Teorema 6. Límite de una diferencia lim 𝑥→𝑎 [𝑔 𝑥 −ℎ 𝑥 ]= lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 − lim 𝑥→𝑎 ℎ 𝑥 =𝐺−𝐻

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Unidad curricular: Matemática II Teorema 7. Límite de un producto Si lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)=𝐺 y lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥)=𝐻 , con G y H є R, entonces: lim 𝑥→𝑎 [𝑔 𝑥 ∙ℎ 𝑥 ]= lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 ∙ lim 𝑥→𝑎 ℎ 𝑥 =𝐺∙𝐻 Teorema 8. Límite de un cociente Si lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)=𝐺 y lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥)=𝐻 , con G y H є R, con H ≠ 0, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝐺 𝐻 Teorema 9. Límite de una potencia Si lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)=𝐺 , con m y n є R, siendo n ≠ 0, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑔 (𝑥) 𝑚 𝑛 = 𝐺 𝑚 𝑛

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Unidad curricular: Matemática II Teorema 10. Límite de un polinomio Si P(x) es una función polinómica, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑃 (𝑥) = 𝑃 (𝑎) Teorema11. Si lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)=𝐺 y lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥)=𝐻 , con G y H є R, entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑔 (𝑥) ℎ (𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑔 (𝑥) lim 𝑥→𝑎 ℎ (𝑥) = 𝐺 𝐻

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática II Calcular el siguiente límite, justificando que propiedad se está usando: lim 𝑥→1 2𝑥 2 +𝑥−3 𝑥 3 +4 lim 𝑡→4 𝑡 2 +1 lim 𝑥→3 3 𝑥 2 +7 lim 𝑡→ 1 2 (3𝑡−5) lim 𝑥→−1 ( 𝑥 3 − 3𝑥 2 −2𝑥+1) lim 𝑝→4 𝑝 2 +𝑝+5 lim 𝑥→2 7 lim 𝑥→3 𝑥 2 lim 𝑥→ 1 2 𝑥 2 +6𝑥+9 𝑥 2 −2𝑥+1 lim 𝑥→2 ( 𝑥 2 +𝑥) lim 𝑥→2 𝑥+1 𝑥−3 lim 𝑥→−2 3 𝑥 3

INDETERMINACIONES Unidad curricular: Matemática II Indeterminación cero partido entre cero 0 0 Función racional sin radicales: Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Unidad curricular: Matemática II FACTORIZACIÓN Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces, se deben seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles: Factor común de un polinomio: Extraer factor común a un polinomio, consiste en aplicar la propiedad distributiva. a∙x+b∙x+c∙x=x a+b+c Igualdad notable Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia. a 2 − b 2 = a+b ∙ a−b Suma o Diferencia de Cubos perfectos: a 3 + b 3 = a+b ∙ 𝑎 2 −𝑎𝑏+ 𝑏 2 a 3 − b 3 = a−b ∙ 𝑎 2 +𝑎𝑏+ 𝑏 2

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Unidad curricular: Matemática II Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado. 𝑎 2 ±2𝑎𝑏+ 𝑏 2 = 𝑎±𝑏 2 Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado 𝑃 (𝑥) = 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será: 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑎∙ 𝑥− 𝑥 1 ∙ 𝑥− 𝑥 2

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Unidad curricular: Matemática II Factorización de un polinomio de grado superior a dos Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras. Tomamos los divisores del término independiente Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta Dividimos por Ruffini. Por ser la división exacta, D = d · c Se continua realizando las mismas operaciones a los siguientes factores.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática II Evalúa los siguientes límites: 1. lim 𝑥→1 𝑥²−1 𝑥−1 2. lim 𝑥→1 𝑥²+𝑥−2 𝑥−1 3. lim 𝑥→ 1 3 3𝑥−1 3𝑥 2 +5𝑥−2 4. lim 𝑥→2 𝑥 3 −8 𝑥 2 −4 5. lim 𝑥→1 𝑥 3 −3𝑥+2 𝑥 3 − 𝑥 2 −𝑥+1 6. lim 𝑥→1 3𝑥 4 − 4𝑥 3 +1 (𝑥−1) 2 7. lim 𝑥→1 𝑥²+𝑥−2 𝑥 2 −𝑥 8. lim 𝑡→1 𝑡²+𝑡−2 𝑡 2 −1 9. lim 𝑦→0 5𝑦 3 + 8𝑦 2 3𝑦 4 − 16𝑦 2 10. lim 𝑥→2 𝑥 2 −4 𝑥−2 11. lim 𝑥→4 𝑥−4 𝑥 2 −𝑥−12 12. lim 𝑥→2 8−𝑥 3 𝑥 2 −2𝑥

INDETERMINACIONES Unidad curricular: Matemática II Indeterminación cero partido entre cero 0 0 Función racional con radicales. En primer lugar se multiplica numerador y denominador por la conjugada de la expresión irracional. Para la conjugada: (A + B)(A - B) = A² - B² (A – B)(A² + AB + B²) = A³ - B³ (A + B)(A² - AB + B²) = A³ + B³

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática II Evalúa los siguientes límites: lim x→9 x²−9x 3− x lim x→2 x²+3x−10 x 2 +5 −3 lim x→1 1− x x 2 +3 −2 lim x→0 1− 3 1+x x lim x→1 3 x −1 x −1 lim x→−1 3 x +1 𝑥 2 +x

INDETERMINACIONES Unidad curricular: Matemática II Indeterminación infinito partido entre infinito ∞ ∞ Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente. Reglas Prácticas Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el límite es ±∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado. Si el numerador tiene mayor grado el límite es cero.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática II Evalúa los siguientes límites: lim x→∞ x²+5𝑥+4 𝑥 2 −2𝑥+1 lim x→∞ 2𝑥 5 − 3𝑥 2 𝑥 4 − 𝑥 3 lim x→∞ 𝑥 2 −𝑥+2 3𝑥 2 +2𝑥−4 lim x→+∞ 3𝑥 2 −2𝑥 2𝑥+3 lim x→+∞ 𝑥 2 +1 𝑥+1