Antidiferenciación A la operación inversa de la diferenciación se le llama antidiferenciación. El procedimiento que implica a la antidiferenciación, se le conoce como antiderivada.
Definición de anti derivada de una función Una función 𝑭 se llama antiderivada de una función 𝒇, en un intervalo 𝑰, si 𝑭´ 𝒙 =𝒇 𝒙 para todo valor de 𝒙 en 𝑰.
Teorema Si 𝒇 es una función, 𝑰 es un intervalo y 𝒇´ 𝒙 =𝟎 para toda 𝒙 en 𝑰 entonces 𝒇 es constante en 𝑰; es decir, existe una constante 𝑲 tal que 𝒇 𝒙 =𝑲 para toda 𝒙 en 𝑰.
Teorema Si 𝒈 𝒚 𝒉 son dos funciones, tal que 𝒈´ 𝒙 =𝒉´ 𝒙 para todos los valores de 𝒙 en un intervalo 𝑰, entonces existe una constante 𝑲 tal que 𝒈 𝒙 =𝒉 𝒙 +𝒌 para toda 𝒙 en 𝑰.
Teorema Si 𝑭 es una antiderivada particular de 𝒇 en un intervalo 𝑰, entonces el conjunto de todas las antiderivadas de 𝒇 en 𝑰 está dado por 𝑭 𝒙 +𝑪 (2); donde 𝑪 es una constante arbitraria y todas las antiderivadas de 𝒇 en 𝑰 pueden obtenerse a partir de (2) asignando valores particulares a 𝑪.
Antidiferenciación Es el proceso de determinación de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo denota la operación de antidiferenciación y se escribe 𝒇 𝒙 𝒅𝒙=𝑭 𝒙 +𝑪 Donde 𝑭´ 𝒙 =𝒇 𝒙 y 𝒅 𝑭 𝒙 =𝒇 𝒙 𝒅𝒙 Por lo anterior: 𝒅 𝑭 𝒙 =𝑭 𝒙 +𝑪
Teoremas de antidiferenciación 1. 𝒅𝒙=𝒙+𝒄 2. 𝒂𝒇 𝒙 𝒅𝒙=𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ; donde 𝒂 es una constante. 3. Si 𝒇 𝟏 𝒚 𝒇 𝟐 están definidas en el mismo intervalo entonces, 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒇 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙
Teoremas de antidiferenciación 4. Si 𝒇 𝟏 , 𝒇 𝟐 ,… 𝒇 𝒏 se definen en el mismo intervalo, 𝒄 𝟏 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒄 𝟐 𝒇 𝟐 𝒙 +…+ 𝒄 𝒏 𝒇 𝒏 𝒙 𝒅𝒙= 𝒄 𝟏 𝒇 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒄 𝟐 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒄 𝟏 𝒇 𝟏 𝒙 + 𝒄 𝟐 𝒇 𝟐 𝒙 +…+ 𝒄 𝒏 𝒇 𝒏 𝒙 𝒅𝒙= 𝒄 𝟏 𝒇 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒄 𝟐 𝒇 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 +…+ 𝒄 𝒏 𝒇 𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Donde 𝒄 𝟏 , 𝒄 𝟐 , …𝒄 𝒏 son constantes.
Teoremas de antidiferenciación 5. 𝒙 𝒏 𝒅𝒙= 𝒙 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 +𝑪 𝑺𝒊 𝒏≠−𝟏
Regla de la cadena para antidiferenciación Sea 𝒈 una función diferenciable de 𝒙 y sea el contradominio de 𝒈 un intervalo 𝑰. Supóngase que 𝒇 es una función definida en 𝑰 y que 𝑭 es una antiderivada de 𝒇 también en 𝑰. Por tanto si 𝒖=𝒈 𝒙 , 𝒇 𝒈 𝒙 𝒈´ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒖 𝒅𝒖 =𝑭 𝒖 +𝑪=𝑭 𝒈 𝒙 +𝑪
Fórmula generalizada de potencias para antiderivadas Si 𝒈 es una función diferenciable, entonces si 𝒖=𝒈 𝒙 , 𝒈 𝒙 𝒏 𝒈´ 𝒙 𝒅𝒙= 𝒖 𝒏 𝒅𝒖= 𝒖 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 +𝑪= 𝒈 𝒙 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 +𝑪