Parábolas Parte I

En esta presentación vamos a analizar la función cuadrática En esta presentación vamos a analizar la función cuadrática. Partiendo de la forma general de la misma, iremos, paso a paso, transformándola en la forma estándar o de vértice. Luego, viajaremos por la Internet para que veamos el comportamiento de cada una de ellas al cambiarles los parámetros y sus diferentes constantes. Por supuesto, basados en la frase del Prof. Carlos Martínez, quien indica que “las matemáticas entran por los dedos”, tendremos varias prácticas y un trabajo especial.

Estándar de contenido 2: Álgebra Expectativas: A.PR.11.2.1 Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones. A.PR.11.2.3 Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en los infinitos, la gráfica de la función, la naturaleza y el número de ceros de la función y su representación simbólica. A.PR.11.3.4 Aplica las transformaciones básicas de las funciones, f(x) = a • f (x-h) + k, e interpreta los resultados de estas transformaciones verbalmente, gráficamente y numéricamente.

Objetivos Halla las coordenadas del vértice de la parábola. Método de la compleción del cuadrado Función en forma de vértice Determina si el vértice es un máximo o un mínimo. Expresa los conjuntos del dominio y el rango (recorrido) de la función. Determina los ceros de la parábola. Encuentra la ecuación del eje de simetría. Grafica la parábola. Dada la forma de vértice, encontrará la forma general de f(x) con sus valores a, b y c.

Práctica Índice Problema 4 Problema 1 Problema 5 Problema 2 Problema 3 Trabajo Especial Práctica

Encuentra los puntos críticos para que construyas la gráfica de: 1. Utilizando el método de la compleción del cuadrado, encuentra las coordenadas del vértice [V(h, k)], si es máximo o mínimo, el dominio, el rango o recorrido, la ecuación de la línea de simetría de la función. Encuentra los puntos críticos para que construyas la gráfica de: Índice

SOLUCIÓN La función es: Vamos a separar los dos primeros términos con paréntesis y sacar como factor común al coeficiente del término cuadrático. Ahora procedemos a igualar a cero (0) la expresión (x+1), despejando para x. Ahora procedemos a completar el cuadrado en el binomio entre paréntesis. Ya tenemos las coordenadas del vértice:

CONTINUACIÓN La función es: Ya tenemos las coordenadas del vértice: Como la gráfica es cóncava hacia arriba, el vértice es el punto mínimo. Ahora surge la ecuación del eje de simetría: Vamos a buscar los ceros. Para hallarlos la igualamos a cero y factoricemos la función. (Para repasar, refiérase al enlace dando un clic en el botón de “Información”.) X= -1 V=(-1, -16)

CONTINUACIÓN La función es: Ahora vamos a encontrar el intercepto en el eje y. Para ello vamos a dejar que x=0 y evaluamos por sustitución en la ecuación original. Como ya tenemos los puntos críticos, procedamos a graficar la parábola. X= -1 Dominio: Alcance (Recorrido): V=(-1, -16)

Encuentra los puntos críticos para que grafiques la parábola de: 2. Utilizando el método de la compleción del cuadrado, encuentra las coordenadas del vértice [V(h, k)], si es máximo o mínimo, el dominio, el recorrido, la ecuación de la línea de simetría de la función dada. Encuentra los puntos críticos para que grafiques la parábola de: Índice

SOLUCIÓN La función es: Vamos a separar los dos primeros términos con paréntesis y sacar como factor común al coeficiente del término cuadrático. Ahora procedemos a igualar a cero (0) al binomio: Ahora procedemos a completar el cuadrado en el binomio entre paréntesis. Ya tenemos las coordenadas del vértice:

CONTINUACIÓN La función es: Ya tenemos las coordenadas del vértice: Como la gráfica es cóncava hacia abajo, el vértice es el punto máximo. Ahora surge la ecuación del eje de simetría: Vamos a buscar los ceros. Para hallarlos, igualamos a cero la ecuación y factorizamos. (Para repasar, refiérase al enlace dando un clic en el botón de “Información”.) X= -1 3/4

CONTINUACIÓN La función es: Ahora vamos a encontrar el intercepto en el eje y. Para ello vamos a dejar que x=0 y evaluamos en la ecuación original por sustitución. V=(-1 3/4, 1/8) Como ya tenemos los puntos críticos, procedamos a graficar la parábola. Dominio: X= -1 3/4 Alcance (Recorrido): Demos un clic en el botón de “Información” para que veamos gráficamente lo que sucede al cambiar los parámetros a, b y c.

3. Desarrola la forma estándar (de vértice), partiendo de la forma general de la parábola, que es: Índice

SOLUCIÓN La función general es: h k Los coeficientes a, b y c se conocen como los parámetros. Vamos a separar los dos primeros términos con paréntesis y sacar a “a” como factor común. Ahora procedemos a igualar a cero (0) al binomio: Ya tenemos las coordenadas del vértice: Ahora procedemos a completar el cuadrado en el binomio entre paréntesis. h k Forma estándar (vértice):

¡Por favor, busca la segunda parte!