EDO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR FORMA GENERAL

OBSERVACIÓN Cuando g(x) = 0, para todo x de cierto intervalo I, la ED LINEAL se llama HOMOGÉNEA.

EDO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGENEA FORMA GENERAL

son constantes, la EDL se llama HOMOGÉNEA con coeficientes constantes. OBSERVACIÓN Cuando los coeficientes ai(x) son constantes, la EDL se llama HOMOGÉNEA con coeficientes constantes.

EDO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES FORMA GENERAL I

EJEMPLOS

Teorema: Si y1, y2, …., yn son n soluciones particulares y linealmente independientes de la ecuación (I) y C1, C2, … ,Cn son n constantes arbitrarias, entonces: y = C1y1+ C2y2+ C3y3+ … + Cnyn Es la Solución general de la ecuación (I).

Al conjunto y1, y2, …., yn de n soluciones particulares y linealmente independientes de la ecuación (II), se denominan Sistema fundamental de soluciones.

Solución general de la EDO de 2º orden. (II)

Ya vimos que la ecuación y’ + py = 0, admite una solución del tipo y = ekx donde k es una constante, por esa razón busquemos soluciones particulares de (II) de la misma forma.

Solución particular de (II): , entonces y , sustituyendo en (II) se obtiene: y como  k2 + pk + q = 0 (III). Si k satisface a la ecuación (III), es una solución particular de (II). La ecuación k2 + pk + q = 0, recibe el nombre de, Ecuación Característica asociada a la EDO (II).

En el caso que nos ocupa, la ecuación característica, es una ecuación de 2do. Grado y como sabemos se pueden presentar 3 casos.

Caso I: k2 + pk + q = 0, tiene 2 raíces reales diferentes, k1 ≠ k2 Caso I: k2 + pk + q = 0, tiene 2 raíces reales diferentes, k1 ≠ k2. . Entonces, Son soluciones particulares LI de II y constituyen un sistema fundamental de soluciones de (II), de donde la solución general buscada es:

Caso II: k2 + pk + q = 0, tiene 2 raíces complejas conjugadas diferentes, k1 = α + βi y k2 = α - βi

Entonces constituyen un sistema fundamental de soluciones de (II).Utilizando las fórmulas de Euler: podemos escribir de manera usual la solución general en la forma .

Caso III: k2 + pk + q = 0 2 raíces reales iguales, k1 = k2 e tomando constituyen un sistema fundamental de soluciones de (II) (¡Pruébelo!), de donde la solución general buscada es:

Ejemplos: Resolver las siguientes EDL homogéneas: a. y´´ + 3y´+ 4y = 0 b. y´´+ 2y´+y = 0 c.y´´ + y´+y = 0

WRONSKIANO de “n” FUNCIONES DERIVABLES. En honor al famoso matemático polaco Nicolás Wronsky (1778-1853) se define para “n” funciones derivables el concepto de wronskiano de gran utilidad en las ED lineales.

Definición Sean y1,y2,.....,yn un conjunto de n funciones derivables hasta el orden n-1. Entonces se define como WRONSKIANO de dichas funciones y se denota por: W(y1,y2,.....,yn) al determinante funcional:

Teorema: 1. Si W(y1,y2,.....,yn) ≠ 0 en algun intervalo I entonces el sistema de funciones y1,y2,.....,yn es L.I en I. 2. Si el sistema y1,y2,.....,yn es L.D. entonces W(y1,y2,.....,yn) = 0 en I.

Tratamiento de EDO de orden superior a 2. Ejemplo Obtener la solución general de

Ecuación característica m3 – 3m + 2=0

Ecuación característica m3 – 3m + 2=0 Se descompone en factores en la forma (m-1)2(m+2)=0

Ecuación característica (m-1)2(m+2)=0 Se obtienen las raíces m1= 1 de multiplicidad 2 m2= -2 de multiplicidad 1

m1= 1 de multiplicidad 2 m2= -2 de multiplicidad 1 Aportan las soluciones particulares LI

Por lo que la solución general es

TAREA Resolver las EDL HOMOGÉNEAS:

TAREA Resolver las EDL HOMOGÉNEAS: