Método de Heun. Salvador Arteaga. Jalil Villalobos.

Método Heun. Una fuente fundamental de error en el método de Euler se debe a que la derivada al principio del intervalo se aplica a través del intervalo entero. Existen dos modificaciones simples que ayudan a evitar este inconveniente, el método de Heun es el que se expondrá a continuación.

Recordando Euler la pendiente al principio es: La mejora del método de Heun consiste en la aproximación a la pendiente mediante la aplicación de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y otra en el punto final. La aproximación mejorada de la pendiente será el promedio de las dos derivadas. Recordando Euler la pendiente al principio es: Que se emplea en extrapolar linealmente el valor de ´y´ al final del intervalo: 3

Este valor no es la solución final sino una predicción intermedia, por lo que se ha distinguido a ésta con el superíndice 0. Esta ecuación se denomina ecuación predictora y proporciona una aproximación del valor de ´y´ al final del intervalo. Este valor nos permite a su vez calcular la pendiente aproximada en dicho punto.

Combinando las dos pendientes obtenemos el promedio del intervalo: Esta pendiente promedio se usa para extrapolar linealmente el valor de la función en el siguiente punto usando el método de Euler:

El método de Heun sigue un esquema ´predictor-corrector´ que es el mismo de los métodos de pasos multiples y se expresa como: Predictor: Corrector:

Circuito RLC Un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, un inductor (bobina) y un capacitor (condensador). Hay dos tipos de circuitos RLC, en paralelo o en serie, según como estén conectados los tres elementos. El comportamiento de un circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden (los circuitos RC o RL se comportan como circuitos de primer orden).

Circuito RL Aplicaciones Filtro de bandas. El circuito RL es aquel circuito que contienen un inductor (bobina) que tiene auto inductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la corriente. El factor de auto inductancia se desprecia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la inductancia del inductor. Aplicaciones Filtro de bandas. Filtro de altas y bajas bandas. Generadores de frecuencias (osciladores).

Plantemaiento de Problema Es un circuito de primer orden. Son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía en este caso el inductor. Metodología. Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales Solución de la Ecuación Diferencial por medio del método numérico (Método de Heun) implementado en c++. Graficar la corriente encontrada.

Modelo Considere el siguiente circuito que contiene una resistencia R, una inductancia L en serie. Una fuente de voltaje conocida V = V0 . La EDO que relaciona la corriente i(t) con el voltage se encuentra aplicando la 2da ley de Kirchhoff (ley de mallas), la cual establece que el voltaje total del circuito es igual a la suma de los voltajes de cada elemento del circuito. Determinar la corriente i(t), si i(0)=0 ,conforme t → inf. Corriente instántanea. Cuando se gráfica la corriente que depende del tiempo se observa el periodo de transición durante el cual los ajusta actuales de su valor inicial de cero hasta el valor final V/R que es el estado estable. La constante de tiempo es:

Modelo Entonces, aplicando la ley de mallas de Kirchhoff al circuito de la figura. Nos queda la ecuación (a. Esta ecuación es el caso para cuando no hay caída de voltaje que genera el capacitor, dicha ecuación es la ecuación (b. Es importante tomar en cuenta que una vez modelado un circuito en serie del tipo RLC, las versiones de circuitos en serie del tipo LR y RC, son simplemente contracciones de la ecuación (2). Nos interesa cuando el interruptor esta cerrado, dado que la corriente en el circuito ese momento no es constante, en vez de eso la corriente aumenta hasta llegara un estado estable. Dependiendo del valor del discriminante R² – 4L/C, decimo que el circuito está Sobre amortiguado si R² – 4L/C > 0 Críticamente amortiguado si R² – 4L/C = 0 Subamortiguado R² – 4L/C < 0

Solución La solución general del problema. Gráfica de la corriente. Para este caso V= 5 volts, R=50 ohms, L=1H. La ecuación a resolver es: Solución general:

Solución Gráfica de la solución analítica Haciendo uso del programa en c++ de t=0 a t=1 con tamaño de paso h=0.02, y h=0.01. Para este caso x0=0, y0=0. Obeteniendo los siguientes datos y comparando gráficas. Es evidente, que cuando t→∞, i(t)=V/R, que es i(t) = 5/50 = 0.1 este resultado se hace más evidente cuando graficamos la corriente i(t). Gráfica de la solución aproximada por el método de Heun. h=0.02 Gráfica de la solución aproximada por el método de Heun. h=0.01

Conclusiones El método de Heun es un método numérico, por tanto no tenemos una expresión analítica. Dado que es un método númerico a menor tamaño de paso mayor precisión, incluso cuando se utilizan tamaños de paso extremadamente pequeños, sin embrago en un gran número de pasos el error comienza a acumularse. Este método es para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden dado que solo considera una condicion inicial. Podemos argumentar que, con respecto a la estabilidad no hay mucho que ganar con el aumento de la resolución del método de Heun.