2.1 POTENCIAS Y RADICALES

2.1.1 POTENCIAS

¿Qué es una Base y un Exponente? ¿Qué es una Potencia? Potencia es una expresión que consta de una BASE y un EXPONENTE. ¿Qué es una Base y un Exponente? BASE EXPONENTE b a 4 2 8 (-5,3) 4

2 2 2 2 2 n n n … n ¿Qué significa una Potencia? Potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación recurrente. 4 2 2 2 2 El 2 se multiplica por si mismo las veces que indica el exponente 4. = 2    m n = n n … n n se multiplica por si mismo las veces que indica el exponente m.    m veces 5 (-5,3) = (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3)     2 Ojo: El Exponente 1 no se escribe. Si la base no tiene exponente se asume que es 1. = 

Algo importante: Lectura de una Potencia. Exponente 2, Cuadrado. Ej. Exponente 3, Cubo. Ej. En General se puede usar la palabra “ELEVADO A”. Paréntesis en una Potencia. y No es lo mismo

2 1 m 1 2 2 n n 1 - Propiedad: Potencia de Exponente Cero. Excepción 2 1 m 1 = = No Existe 2 - Propiedad: Potencia de Exponente Uno. 1 1 2 2 n n = =

Escribe o di un enunciado que describa la Propiedad Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. 4 2 = 2 2 2 2 Sabiendo que:    4 veces ¿Cuál será el resultado de? En General 4 2 6 4+2 a b a+b 3 3 = 3 = 3 n n = n   Escribe o di un enunciado que describa la Propiedad 3 3 3 3 3 3 = 3 3 3 3 3 3          4 veces 2 veces En Total son 6 veces

3 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 5 3 8 5 3 2 2 2 2 2 a) 2 7 2 7   = d)    = 3 7 Ordene b) =   =    3 5 -6 7 5 2 7 c) =    = Resultado Final

Escribe o di un enunciado que describa la Propiedad Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente. 4 2 = 2 2 2 2 Sabiendo que:    4 veces ¿Cuál será el resultado de? En General 2 2 2 2 a a a 5 3 = (5 3) = 15 m n = (n • m)    Escribe o di un enunciado que describa la Propiedad 5 5 3 3 = (5 3) (5 3)       2 veces 2 veces En Total son 2 veces

4 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 6 6 6 4 3 4 3 6 2 4 a) 8 5 7 6   = d)    = Ordene 4 4 4 b) =   =    3 3 3 4 3 56 30 c) = =    Resultado Final

5 - Propiedad: División de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. 4 2 = 2 2 2 2 Sabiendo que:    y 4 veces ¿Cuál será el resultado de? Lo anterior se puede separar así 4 veces 4 3 3 3 4 2 3 3 3 ─    _ 3 _ : 3 3 3 3 = ______________ = =    2 3 3 3 3 3  2 2 veces = 1 1 3 3 = 3    4 3 a b a-b ─ 4 - 2 n n n 2 = Más Rápido = 3 = 3 En General : 2 3

División de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. 5 - Propiedad: División de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 5 3 8 a) 2 : 2 : 2 d) = b) e) c) = f)

─ ─ 2 2 2 2 2 m n = (m : n) 6 - Propiedad: División de Potencias de Distintas Bases e Igual Exponente. 4 2 = 2 2 2 2 Sabiendo que:    y 4 veces ¿Cuál será el resultado de? Lo anterior se puede separar así 4 veces 4 4 9 9 9 9 9 4 9 9 9 9 : ─    _ _ _ _ 9 3 = ______________ = =    4 3 3 3 3 3 3 3 3 3    4 = 3 3 3 3 = 3 4 veces    a 4 9 a a ─ m n = (m : n) 4 Más Rápido = 3 En General : 4 3

División de Potencias de Distintas Bases e Igual Exponente. 6 - Propiedad: División de Potencias de Distintas Bases e Igual Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 3 3 3 a) 5 : 10 : 2 d) = b) e) c) = f)

2 2 2 2 2 ( ) (m ) m = 7 - Propiedad: Potencia de una Potencia. = 5 4 2 = 2 2 2 2 Sabiendo que:    4 veces ¿Cuál será el resultado de? ( 2 ) 6 2•6 12 5 5 15 = = 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 6 veces      12 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 5            12 veces b a • b (m ) a = m En General

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 7 4 7 - Propiedad: Potencia de una Potencia. Resuelve usando Propiedad de Potencia ( 2 ) 3 ( 2 ) 4 3 2 = a) = e) ( 3 ) 1 ( 3 ) 4 7 b) f) = = ( 3 ) 2 ( 5 ) 2 = c) = g) ( 9 ) ( -4 ) -3 4 d) h) = =

2 (-7) 0,6 8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. Ejemplos - 4 - 10 2 (-7) - 2 - 3 0,6

¿Qué hace la propiedad? 8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. ¿Qué hace la propiedad? - 4 1 __ - 4 1 - 4 ___ 2 = (-5) (-5) = 4 2 - 7 7 - 3 1 __ 3 3 __ __ 0,6 = = 3 2 2 0,6 En General ó

7 7 7 7 1 1 __ __ 7 7 1 1 __ __ 7 7 8 - Propiedad: = = = = = = Potencia con Exponente Negativo. Así podemos aplicar la propiedad varias veces sobre un mismo número. 2 1 2 1 __ __ 7 7 = = = -2 -2 7 7 -2 1 -2 1 __ __ 7 7 = = = 2 2 7 7

8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. Ejercicios: Cambiar el signo del exponente

Observa lo siguiente 4 1024 4 16 2 512 1 256 5 32 128 64 6 32 64 16 8

Observa lo siguiente 9 59049 4 81 3 19683 1 6561 5 243 2187 729 6 243 729 81 27

LINKS http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=7169 http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/modulo2/3/mdeleon.pdf http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/potencias_desarrollo.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/unid-5/potencias.htm http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/index.htm http://platea.pntic.mec.es/anunezca/Potencias/POTENCIAS.htm http://lubrin.org/mat/spip.php?rubrique52 http://www.vitanet.cl/busqueda/buscar.php?materia=MATEMATICAS+-+PROBLEMAS,+EJERCICIOS,+ETC

2.1.2 RAICES O RADICALES

¿Indice, raíz, cantidad subradical? ¿Qué es una Raíz? Una Raíz es una expresión que consta de un INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL. ¿Indice, raíz, cantidad subradical? Símbolo de Raíz Cantidad Subradical Indice 4 2 4 8 (-5,3) 2

Exponente del Subradical Elementos de una Raíz Exponente del Subradical INDICE a n m Símbolo de Raíz SUBRADICAL

= = = = 2 2 2 = (-0,6) (-0,6) (-5,3) (-5,3) = (-5,3) ¿Qué significa la Raíz? Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción. Raíz = Potencia 3 3 _ _ 5 4 4 = 2 2 2 2 5 5 2 4 2 = (-0,6) (-0,6) _ 3 3 3 2 (-5,3) (-5,3) = (-5,3) Ojo: El Indice 2 no se escribe. _ 7 7 _ 6 6 7 7 = = 6 6

Transforma las siguientes raíces a Potencia Transforma las siguientes Potencia a Raíces

n n = n = = 1 1 Importante: Lectura de una Raíz. En General _ b a a n n b b = n a a ≥ 2 Importante: a b = b a = 1 1 Lectura de una Raíz. Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. Indice 3, Raíz Cúbica. Ej. Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.

Raíz Cuadrada ya que ya que ya que ya que Pero es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a es como . Esto sucede con muchas raíces cuadradas que no entregan un resultado exacto

Raíz Cúbica ya que ya que ya que ya que Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a es como . Esto sucede con muchas raíces Cúbicas que no entregan un resultado exacto.

= = n n n n 1 - Propiedad: El Indice Igual al Exponente. 2 2 = 2 2 2 = 3 _ 7 7 Sabiendo que: 2 2 3 3 = 2 7 ¿Cuál será el resultado de? 5 _ 5 5 1 2 2 5 5 = 2 2 5 = 2 = 2 a _ a a a = = n n n a n En General:

= n n m n m 2 - Propiedad: Multiplicación de Raíces de Igual Indice. = _ 3 7 7 3 3 = Sabiendo que: 2 2 2 7 ¿Cuál será el resultado de? 9 2 • 5 7 = 2 9 • 5 7 _ 9 _ 7 1 _ 1 _ 1 _ 9 7 9 7 2 2 • 5 2 = ( 2 ) 2 • ( 5 ) 2 ( 2 5 ) 2 = • a a x a y = n n m a n x y m En General: • •

2 - Propiedad: Multiplicación de Raíces de Igual Indice. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: a) f) b) g) c) h) i) d) j) e)

n n = m n m 3 - Propiedad: División de Raíces de Igual Indice. 2 2 = 2 _ 7 7 Sabiendo que: 2 2 3 3 = 2 7 ¿Cuál será el resultado de? 7 5 ÷ 5 7 = 7 5 5 7 ÷ 5 _ _ 7 1 _ 1 _ 1 _ 7 5 7 7 2 ÷ 2 5 ( ) 2 (7 5 5 ) 2 = ( 7 ) 2 ÷ 5 = ÷ a x n n a y = m a y n x m En General: ÷ ÷

3 - Propiedad: División de Raíces de Igual Indice. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: a) e) b) f) c) g) d) h)

( ) = m m 4 - Propiedad: 3 3 ( ) ( ) Raíz de una Raíz. = 2 2 2 y 7 = 7 _ 3 ( 2 ) 3 6 7 7 3 = 3 Sabiendo que: 2 2 3 3 2 7 y = ¿Cuál será el resultado de? 7 5 = 4 5 3 7 5 = 7 6 7 5 _ 5 1 _ 5 _ 1 _ 5 5 1 • _ _ _ 5 _ 1 _ 5 • _ ( ) ( ) 7 2 2 = 7 2 2 7 4 7 3 2 7 = = 7 3 2 6 = b a n = b•a n m m En General:

4 - Propiedad: Raíz de una Raíz. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: a) d) e) b) c) f)

Descomponer una Raíz Sabiendo que: Resolver lo siguiente Son términos semejantes

Descomponer una Raíz Otro ejemplo Son términos semejantes

Racionalización Racionalizar es amplificar una fracción donde el denominador presenta una Raíz, con el fin de que ésta no aparezca. Ejemplos: ¿Qué es lo que hay que saber? Amplificar: Propiedad de Raíces: Multiplicar Raíces Raíz como Potencia Potencias

Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma 1) 2) 3) 4) En General

Racionaliza las siguientes Expresiones v) ii) vi) vii) iii) viii) iv)

Racionalizar Raíces Cuadradas de la Forma 1) 2) 3) 4) En General

Racionaliza las siguientes Expresiones v) ii) vi) vii) iii) viii) iv)

NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas e Indice Par Como, por ejemplo, ya que y así para todas las Raíces Cuadradas de Números Positivos entonces NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS En General, Esta condición es propia de todas las Raíces de INDICE PAR. Es decir: No Existe en los números reales No Existe en los números reales No Existe en los números No Existe en los números reales No Existe

Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e Indice Impar Las Raíces que tienen INDICE IMPAR NO tienen restricción Es decir: ya que ya que ya que ya que

Ecuaciones con Irracionales. Una Ecuación Irracional es determinar el valor de la incógnita que se encuentra bajo raíces. Ejemplo de Ecuaciones Irracionales: Para resolverlas hay que seguir dos pasos muy sencillos: Si hay más de una raíz, se debe aislar en uno de los lados de la ecuación. Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.

Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales: Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada en uno de los dos lados de la ecuación. Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2. El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y el exponente se simplifiquen. Se resuelve como una ecuación de primer grado con una incógnita. OJO. En estricto rigor la solución de la ecuación debe estar en el siguiente conjunto:

Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales: Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos lados de la ecuación. Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2. El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y el exponente se simplifiquen y en el otro lado de la igualdad tengamos que realizar el cuadrado de un binomio. Debemos volver al paso i), raíz aislada y elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad. Aquí en adelante la Ecuación Irracional se transforma en una Ecuación de Primer Grado con una Incógnita

Curiosidades 2) Algoritmo para determinar una raíz. 1)