ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 6 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ECUACIONES CUADRÁTICAS U. D. 6.2 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ECUACIONES CUADRÁTICAS ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO También llamada ecuación cuadrática. Es aquella que, tras pasar todo el segundo miembro de una igualdad al primero, el polinomio característico es de grado 2. Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son números; y siempre a<>0 Pueden darse varios casos: CASO 1.- a = 0 NO SERÍA ECUACIÓN CUADRÁTICA. CASO 2.- b = 0 y c = 0 Solución única: x = 0 CASO 3.- b = 0 a.x2 + c = 0 INCOMPLETA CASO 4.- c = 0 a.x2 + b.x = 0 INCOMPLETA CASO 5.- b<>0, c<>0 a.x2 + b.x + c = 0 COMPLETA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Equivalencia de ecuaciones Dos ecuaciones de segundo grado son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. EJEMPLOS DE ECUACIÓN EQUIVALENTE Sea x2 - 3.x + 2 = 0 x = 1 y x = 2 son las dos soluciones de la ecuación. 3.x2 - 9.x + 6 = 0 Es equivalente a la primera. 2.x2 - 6.x + 4 = 0 Es equivalente a la primera. - 5.x2 + 15.x – 10 = 0 Es equivalente a la primera. Y así miles de ellas. ¿Cómo se hacen ecuaciones equivalentes? Antes de resolver una ecuación hay que simplificarla, transformarla en una ecuación equivalente. En general dividiendo todo entre el valor de a. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 3 Tiene la forma a.x2 + c = 0 Resolución: Paso 1.- a.x2 = - c Paso 2.- x2 = - c / a Paso 3.- x = +/- √ (- c / a) Dándonos las dos raíces si existen. EJEMPLO Sea x2 - 4 = 0 Resolución: x2 = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2 x1 = + 2 x2 = - 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 4 Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 Resolución: Clave: Sacar factor común a x. Paso 1.- x . (a.x + b ) = 0 Paso 2.- x = 0 es un raíz Paso 3.- a.x + b = 0 de donde x = - b / a es otra raíz EJEMPLO Sea 2.x2 + 8.x = 0 Resolución: 2.x . (x + 4 ) = 0  x = 0 es una raíz x + 4 = 0  x = - 4 es la otra raíz x1 = 0 ,, x2 = - 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ecuación de 2º grado completa CASO 5 Tiene la forma: a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son distintos de cero. Se resuelven aplicando la fórmula: - b +/- √(b2 – 4.a.c) Con el signo “+” se obtiene x1 x = ---------------------------- = 2.a Con el signo “–” se obtiene x2 Deducimos la fórmula … @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Deducción de la fórmula Sea la ecuación cuadrática: a.x2 + b.x + c = 0 1.‑ Restamos c a ambos términos: a.x2 + b.x = ‑c 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 5.‑ Restamos b a los dos términos: 2.a.x = ‑ b +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: ‑ b +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) x = ---‑-------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 2.a Con el signo “+” hallamos una raíz y con el “-” la otra. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo Sea la ecuación 2.x2 -10.x + 12= 0 Donde: a=2, b = -10, c=12 Podemos simplificarla, pero no lo hacemos. 1.‑ Restamos c=12 a ambos términos: 2.x2 - 10.x = ‑ 12 2.‑ Multiplicamos por 4.a=4.2= 8 a todo: 16.x2 - 80.x = ‑ 96 3.‑ Sumamos b2 = 100 a ambos términos: 16.x2 - 80.x + 100 = 100 - 96 (4.x - 10)2 = 4 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 4.x - 10 = +/- 2 5.‑ Restamos b = - 10 a los dos términos: 4.x = ‑ (- 10) +/- 2 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a = 2.2 = 4: x = (10 +/- 2) / 4  x1 = (10+2)/4 = 12/4 = 3 x2 = (10-2)/4 = 8/4 = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejercicios Ejercicio 1 Sea x2 - 3.x + 2 = 0 a = 1 b = - 3 c = 2 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - (- 3) +/- √(9 – 4.1.2) x = -------------------------------- = 2.1 + 3 +/- 1 (3 + 1) / 2 = 2 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (3 – 1) / 2 = 1 = x2 Otra solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejercicios Ejercicio 2 Sea 3.x2 - 5.x + 2 = 0 a = 3 b = - 5 c = 2 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - (- 5) +/- √(25 – 4.3.2) x = -------------------------------- = 2.3 + 5 +/- 1 (5 + 1) / 6 = 1 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 6 (5 – 1) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3 = x2 Otra solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejercicios Ejercicio 3 Sea x2 + 6.x + 9 = 0 a = 1 b = 6 c = 9 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - 6 +/- √(36 – 4.1.9) x = -------------------------------- = 2.1 - 6 +/- 0 (-6 + 0) / 2 = - 3 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (- 6 - 0) / 2 = - 3 = x2 Otra solución. Cuando b2 – 4.a.c = 0 el valor de las dos soluciones coincide, que es lo que ocurre en este ejemplo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.