MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO: TRANSLACION & ROTACION Objectivos : 1. Analizar la cinemática del cuerpo bajo rotación y traslación entre ejes fijos.

EL MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO Los casos mas reales hacen que un cuerpo no pueda ser tratado como una partícula. La dimensión y la forma deberán ser consideradas. Además, la rotación de un cuerpo hace que sea tratado el movimiento de forma mas compleja. Ejemplo: engranajes, levas, cadenas, brazos en rotación y cuerpos que rotan en general. El análisis lo limitaremos en el campo del movimiento plano.

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO Hay tres tipos referencial. de movimiento de un CR en plano Traslación: Traslación rectilínea. Cuando la ruta se compone de traslaciones verticales y horizontales cada vez mas pequeños se llega al movimiento curvilíneo.

Rotación alrededor de un eje fijo: Las partículas se mueven en círculos en planos perpendiculares al eje de rotación. Movimiento Plano General: es la combinación de ambos traslación y rotación. Puede haber varios ejes de rotación?

Como ejemplo veamos este mecanismo:

donde rA y rB son la posición fija MOVIMIENTO DE UN C.R. TRASLACION Recordemos: La posición relativa de A y B en traslación rB = rA + rB/A donde rA y rB son la posición fija respecto de un sistema coordenado fijo x-y, y posición relativa entre rB/A es la B y A. La velocidad de B es vB = vA+ drB/A/dt . Como drB/A/dt = 0 desde Luego, vB = vA, y bajo la Todos los puntos sujetos que rB/A es constante. misma lógica, aB = aA. a un CR en traslación tienen la misma velocidad y aceleración.

ROTACION RESPECTO DE UN EJE MOVIMIENTO DE UN C.R. ROTACION RESPECTO DE UN EJE Un partícula P que rota alrededor de un eje fijo rota en un trazo circular. La posición angular de P es definida por el Angulo  Un cambio angular en la posicion, d, es llamado desplazamiento, cuyas unidades están en radianes o revoluciones. 1 revolución = 2 radianes Velocidad Angular, , se obtiene de tomar derivada en el tiempo del desplazamiento angular  = d/dt (rad/s) + Similarmente, aceleración angular es la  = d2/dt2 = d/dt o  = (d/d) + rad/s2

ROTACION RESPECTO DE UN EJE (continuación) Si la aceleración angular es constante,  = C, la ecuación de aceleración puede ser integrada :  = O + Ct  = O + Ot + 0.5Ct2 2 = (O)2 + 2C ( – O) O y O son valores iniciales de la posición angular del cuerpo. Note la similitud con el movimiento rectangular de una partícula.

punto del eje de rotación de P. LA VELOCIDAD DE UN PUNTO La magnitud de las velocidad de P es igual a r. La dirección de la velocidad siempre será tangente a la trayectoria de P. El a formula del vector la magnitud y dirección de v puede se determinada por el producto vectorial de  y rp . rp es un vector que va desde cualquier punto del eje de rotación de P. v =  x rp =  x r La dirección de v es determinada por la regla de la mano derecha.

La forma escalar será at =  r y an = ACELERACION DE UN PUNTO P La aceleración de P es expresada en coordenadas normal (an) y tangencial (at) La forma escalar será at =  r y an = 2 r. La componente tangencial, at, representa la relación de cambio en la magnitud de la velocidad. Es tangente a la trayectoria. La componente normal, an, representa la relación de cambio de la dirección de la velocidad. Apunta al centro del radio de curvatura.

x rP +  x drP/dt x rP +  x r – 2r = at + an (at)2 + (an)2 Usando la formula del vector la aceleración de P es definida por la derivada de la velocidad. a = dv/dt = d/dt x rP +  ( x rP) x drP/dt =  x rP +  x Esto puede ser reducido a: a =  x r – 2r = at + an La magnitud del vector aceleración es = (at)2 + (an)2

EJEMPLO Dado: El motor M rota con  = 4(1 – e-t) rad/s, t en segundos. Los radios de las poleas y el ventilador son 1 in, 4 in y 16 in, respectivamente. Hallar: La magnitud de la velocidad y la aceleración en del ventilador cuando t = 0.5 s. el punto P

m = 4(1 – e-t), la aceleración de halla derivando. Solución: 1) Como la velocidad angular es una función del tiempo, m = 4(1 – e-t), la aceleración de halla derivando. m = dm/dt = 4e-t rad/s2 Donde t = 0.5 s, m = 4(1 – e-0.5) = 1.5739 rad/s, m = 4e-0.5 = 2.4261 rad/s2 todos 2) Asumiendo que la faja no desliza, la aceleración en los puntos de la faja serán iguales. Así también la velocidad y aceleración tangenciales. Luego, la velocidad angular del motor (m) y la del fan (f) se relacionan por la velocidad tangencial: v = m rm = f rf => (1.5739)(1) = f(4) => f = 0.3935 rad/s

= f rf => (2.4261)(1) = f(4) => f = 0.6065 rad/s2 3) Similarmente la aceleración tangencial: at = m rm = f rf => (2.4261)(1) = f(4) => f = 0.6065 rad/s2 4) La velocidad de P en el fan, a un radio16 in, es determinado como: vP = frP = (0.3935)(16) = 6.30 in/s La aceleración normal y tangencial de P se calcula como: an = (f)2 rP = (0.3935)2 (16) = 2.477 in/s2 at = f rP = (0.6065) (16) = 9.704 in/s2 Y su magnitud : aP = (an)2 + (at)2 = (2.477)2 + (9.704)2 = 10.0 in/s2

Una polea A (rA = 50 mm) que parte del reposo cuando s = PROBLEMA Dado: Una polea A (rA = 50 mm) que parte del reposo cuando s = 0, tiene aceleración angular constante A = 6 rad/s2. La polea C (rC = 150 mm) tiene una masa de inercia D (rD = 75 mm) el cual esta unida y se enrolla en C. Hallar: La velocidad del bloque B cuando se ha elevado s = 6 m.

aB = (at)D = DrD = (2)(0.075) = 0.15 m/s2 Solución: 1) Asumiendo que la faja es inextensible y que no desliza, las componentes de las aceleraciones y velocidades tangenciales son iguales entre las poleas A y C. Así, at = ArA = CrC Como C y D => (6)(50) = C(150) => C = 2 rad/s2 2 rad/s2 rotan juntos, D = C = 2) En iguales condiciones de la cuerda en , la velocidad aceleración tangencia entre B y D son iguales: y aB = (at)D = DrD = (2)(0.075) = 0.15 m/s2

Como A es constante, D y aB serán constantes. La ecuación 3) Como A es constante, D y aB serán constantes. La ecuación de movimiento acelerado rectilíneo determina la velocidad del bloque B cuando s = 6 m (so = vo = 0): (vB)2 = (vo)2 + 2aB(s – so) + (vB)2 = 0 + 2(0.15)(6 – 0) vB = 1.34 m/s