Aproximación a f(x)=sen x

Conferencia No. 2 Sumario Series trigonométricas de Fourier. Coeficientes de Fourier. Desarrollos de Fourier de funciones periódicas.

Sumario 4. Análisis de la convergencia. Condiciones de Dirichlet. 5. Gráfica de la función hacia la cual converge el desarrollo.

OBJETIVOS Determinar un desarrollo trigonométrico de Fourier de una función periódica, dada la expresión que la define.

OBJETIVOS Analizar la convergencia de la serie obtenida hacia la función que la generó. Trazar la gráfica de la función hacia la cual converge el desarrollo.

NOTICIA HISTÓRICA ¿Sabes quién fue Joseph Fourier?

JOSEPH FOURIER 1768 – 1830 Destacado ingeniero eléctrico francés, quien en la segunda mitad del siglo XVIII arribó a este tipo de series funcionales que honran su nombre. Ya anteriormente los coeficientes de Fourier, habían sido descubiertos y utilizados por Leonard EULER

LEONARD EULER 1707-1783 Matemático suizo, nacido en Basilea. Hizo contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas y la aplicación a problemas físicos. Fue alumno de Bernoulli. Su obra copiosísima a pesar de estar ciego en los últimos 17 años de su vida.

DEFINICIÓN + a1 cos x + b1 sen x + + a2 cos 2x + b2 sen 2x +… Se llama SERIE TRIGONOMÉTRICA a toda serie en la forma general: + a1 cos x + b1 sen x + + a2 cos 2x + b2 sen 2x +… ……….. ……………… +an cos nx + bn sen nx +…

donde , an , bn (n=1,2,3,....) son números reales llamados COEFICIENTES DE LA SERIE TRIGONOMÉTRICA.

algún intervalo [c;c+T] y periódica con T ≠ 0, ENTONCES OBSERVACIÓN IMPORTANTE Si f es seccionalmente continua en algún intervalo [c;c+T] y periódica con T ≠ 0, ENTONCES

el valor de la integral: es independiente del valor de “c” (REAL) seleccionado.

continua en y f periódica con T 0. ENTONCES TEOREMA Sea f una función seccionalmente continua en y f periódica con T 0. ENTONCES

~

TEOREMA Si f es par en el intervalo [-T/2,T/2] entonces f(x) ~ con bn = 0.

TEOREMA Si f es IMPAR en el intervalo [-T/2,T/2] entonces f(x) ~ con a0/2 =0 y an = 0.

EN ESTE CASO SOLO HAY QUE CALCULAR:

Es menester apreciar que: a) Cuando la función es PAR OBSERVACIÓN Es menester apreciar que: a) Cuando la función es PAR los desarrollos de Fourier f son en COSENOS SOLAMENTE

cuando f es IMPAR vienen dados en SENOS SOLAMENTE. Y… cuando f es IMPAR vienen dados en SENOS SOLAMENTE. OBSERVACIÓN

CONDICIONES DE DIRICHLET TEOREMA CONDICIONES DE DIRICHLET Sean f(x) y f ´(x) funciones a) seccionalmente continuas en cc+T b) f(x) periódica con período T0, ENTONCES

f converge hacia: a) f(x0), para cada x0 punto de continuidad de f f converge hacia: a) f(x0), para cada x0 punto de continuidad de f . b) ½ [f(x0+) + f(x0-)], si x0 es un punto de DISCONTINUIDAD.

Por tanto, para todos los “x” en que f es continua se cumple que:

EJEMPLO Obtener un desarrollo de Fourier para la función f definida por: tal que f(x)=f(x+2π).

APROXIMACIÓN DE LA FUNCION y = f(x) MEDIANTE ARMÓNICOS DE FOURIER

Primer armónico Armónico fundamental

Tercer armónico

Quinto armónico

TAREA Obtener un desarrollo de Fourier de f definida por:

ENTÉRESE

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Mostrar que la serie de Fourier de: viene dada por:

BIBLIOGRAFÍA Krasnov, M (1990) Curso de Matemáticas Superiores para Ingeniero, Tomo II, Pág 79-116, Moscú. Castillo, A y otros, (1997). Series. Tomo II , Pág. 282 a 315. ISPJAE. Cuba. Piskunov y otros. (1969). Cálculo Diferencial e integral. Tomo II, Pág. 323 a 347.