Matemáticas Discretas FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, CÓMPUTO Y TELECOMUNICACIONES Docente: Carlos A. Ruiz De La Cruz Melo Correo: Permutaciones

TEMAS A TRATAR Principio de conteo Permutación Combinación

Si una tarea T 1 puede ocurrir de n 1 maneras diferentes, una segunda tarea T 2 puede ocurrir de n 2 maneras diferentes, y así sucesivamente, una tarea T k puede ocurrir de n k maneras diferentes, y no se pueden realizar las tareas de forma simultánea, entonces cualquiera de ellas se puede realizar de: n 1 + n 2 + n 3+……….+ n K maneras diferentes. PRINCIPIO DE ADICION

EJEMPLO Juan desea comprar un saco de azúcar y sabe que únicamente lo venden en tres mercados. En el primer mercado, lo venden en 7 tiendas distintas; en el segundo mercado, en 5 tiendas distintas y en el tercer mercado, en 6 tiendas distintas. ¿De cuántas maneras puede realizarse la compra de un saco de azúcar?

Debemos de tener en cuenta: si Juan compra el azúcar en uno de los tres mercados, ya no necesita comprar en los otros dos, luego la compra puede realizarse de: =18 maneras diferentes. EJEMPLO

PRINCIPIO DE MULTIPLICACION Si una tarea se puede separar en etapas, si hay n 1 posibles resultados para la primera tarea, n 2 para la segunda tarea, y así sucesivamente, de tal manera que las tareas ocurren una a continuación de la otra. Entonces, la tarea total se puede realizar en el orden designado de: n 1 * n 2 * n 3 * ……….* n K formas diferentes.

EJEMPLO Un empresario dedicado a la venta de café tiene almacenes en la ciudad de Lima, Arequipa y Tacna. Se necesita transportar su mercadería de Lima a Tacna haciendo escala en Arequipa. De Lima a Arequipa puede enviar su café por avión, barco o tráiler y de Arequipa a Tacna puede enviar su mercadería por barco o tráiler. ¿De cuántas formas puede enviar su café de Lima a Tacna?

EJEMPLO 3*2= 6 maneras diferentes

PERMUTACION  Dado un conjunto de n elementos, se denomina permutación al arreglo u ordenación que se puede dar a un grupo de elementos, ya sea tomando a todos los elementos a la vez o a un grupo de ellos.  En una permutación, se tiene en cuenta el orden de los mismos, de tal manera que puede tener los mismos elementos, pero el orden es diferente. Por ejemplo: 21 y 12 tienen los mismos elementos, pero el orden es diferente.

Para calcular el número de permutaciones de los r elementos que se pueden formar con los n elementos disponible, se hacen las siguientes consideraciones: PERMUTACION CON PARTE DE LOS ELEMENTOS  La elección del primer elemento se puede hacer de n maneras diferentes (cualquiera de los n elementos puede ser elegido).  La elección del segundo elemento se puede hacer de (n-1) maneras diferentes (quedan n-1 elementos, quitando el anterior) ,….., el r-ésimo elemento de (n-r+1). Por el principio de la multiplicación, se obtiene:

n P r. =n*(n-1)*….*(n-r+1) PERMUTACION CON PARTE DE LOS ELEMENTOS

EJEMPLO De un grupo de 8 personas para elegir su directiva, presidente, secretario, tesorero, todos pueden ser elegidos, pero una persona no puede tener más de un cargo. ¿De cuántas maneras puede realizarse la elección? Solución: Es una permutación por que interesa el orden, n=8, r=3, reemplazando en la fórmula obtenemos:

PERMUTACION CON TODOS LOS ELEMENTOS Cuando interviene todos sus elementos, se tiene que r=n.

EJEMPLO ¿De cuántas maneras pueden colocarse en un estante 6 libros? Solución: Importa el orden de sus elementos Intervienen todos sus elementos Es una permutación sin repetición.

PERMUTACION CON REEMPLAZO El elemento de una permutación se devuelve al conjunto nuevamente antes de elegir el siguiente elemento de la permutación, es decir, se permiten repeticiones n PR r

Para calcular el número de permutaciones de los r elementos que se pueden formar con los n elementos disponibles, se hacen las siguientes consideraciones:  La elección del primer elemento se puede hacer de n maneras diferentes (cualquiera de los n elementos puede ser elegido).  La elección del segundo elemento se puede hacer de n maneras diferentes (ya que se sustituye el elemento anterior) ,….., el r-ésimo elemento de n maneras diferentes. Por el principio de la multiplicación, se obtiene: PERMUTACION CON REEMPLAZO

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos: 2, 3, 5, 6, 7, 9? Solución: n=6, r=3 EJEMPLO

PERMUTACIONES CIRCULARES Es el número de maneras en que se pueden colocar n elementos distintos alrededor de un círculo donde no hay primero ni último elemento. Suponga un grupo determinado por n elementos diferentes, una permutación circular es una permutación con todos los elementos del grupo. Para que cada arreglo sea diferente, uno de los elementos debe de mantenerse fijo y los otros pueden cambiar de orden, entonces se cumple: n P c = (n-1)!

EJEMPLO ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en una mesa circular? Solución: Sean las personas: a, b, c, d, e Resolvemos de 2 maneras diferentes. n P c = 5 P c = (5-1)! = 4! =24 Se mantiene fijo un elemento los demás permutan P 4 =24

PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS Se llama permutación con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite r 1 veces, el segundo elemento r 2 veces y así sucesivamente el último elemento r k veces. Todas las permutaciones que se puede realizar con ellos se calcula:

¿Cuántas palabras diferentes se puede formar con las letras de la palabra MAPA, sin necesidad que tengan sentido o no? Solución: EJEMPLO n=4 la letra A se repite 2 veces (A=2) la letra M se repite una vez (M=1) la letra P se repite una vez (P=1).

COMBINACIONES Dado n elementos de un conjunto, el número de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados de r en r, se llaman combinaciones, sin tener en cuenta el orden de los mismos, de tal manera que no puede haber 2 o más combinaciones con los mismos elementos. Notación: n C r

COMBINACIONES CON REPETICION 1.Llamaremos combinación con repetición a todo subconjunto que se puede formar con una parte o todos los elementos de un conjunto, pero considerando que hay elementos que son iguales. 2.En este caso, sólo nos importa la naturaleza, no el orden y además podemos repetir elementos. El número de combinaciones con repetición viene dado por:

EJEMPLO ¿De cuántas maneras se puede repartir 5 juguetes idénticos entre 2 niños? Solución: n=5, r=2

EJERCICIO Dado 5 equipos. ¿De cuántas maneras pueden quedar asignados el título de campeón y subcampeón? Solución:  Lo que debemos de analizar es: si es una permutación o una combinación.  No entran todos sus elementos. De 5 equipos sólo escogemos 2.  Si importa el orden, no es lo mismo quedar campeón que subcampeón; por lo tanto es una permutación sin repetición.

EJERCICIO Seg ú n el enunciado: n=5, r=2 Gráficamente, lo vamos a representar como: