PROPORCIONALIDAD U. D. 3 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA U. D. 3.1 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RAZÓN Una razón es la división entre dos cantidades comparables. Se escribe: a --- y se lee “a es a b” b Al número a se le llama antecedente. Al número b se le llama consecuente. Ejemplo: Una persona lee un libro de 250 páginas en 8 horas. Hallar la razón entre el número de páginas que lee y el tiempo que tarda. 250 ------ = 31,25 8 El resultado, 31,25, es la velocidad de lectura de dicha persona. Lee a razón de 31,25 páginas por hora. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROPORCIÓN Una proporción es una igualdad entre dos razones. Se escribe: a c --- = ---- y se lee “a es a b como c es a d” b d PROPIEDAD FUNDAMENTAL En una proporción siempre se cumple: a.d = b.c O sea que el producto de medios (b y c) es igual al producto de extremos (a y d). Ejemplo 2,5 2 ----- = ----  2,5.4 = 5.2  10 = 10 , luego vemos que se cumple. 5 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Proporcionalidad DIRECTA. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando se cumplen dos condiciones: PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. La razón, k, entre esas dos magnitudes se llama constante de proporcionalidad. Magnitud M a  b  c Magnitud N a’  b’  c’ a b c --- = --- = --- = k a’ b’ c’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Proporcionalidad DIRECTA. EJEMPLO 1 Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. Magnitud “Ganancias” 8  12  16 Magnitud “Horas trabajo” 2  3  4 PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 2 < 3 < 4  8 < 12 < 16 SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 8 12 16 --- = --- = --- = 4 , como vemos es un valor constante: k = 4 2 3 4 Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Proporcionalidad DIRECTA. EJEMPLO 2 Nos cobran 80 € si compramos 4 libros, 120 € si compramos 6, 200 € si compramos 10, etc. Magnitud “Coste” 80  120  200 Magnitud “Nº cuadernos” 4  6  10 PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 4 < 6 < 10  80 < 120 < 200 SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 80 120 200 ----- = ----- = ----- = 20 , como vemos es un valor constante: k = 20 4 6 10 Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Proporcionalidad DIRECTA. EJEMPLO 3 En una piscina donde tenemos una bomba de agua desalojándola observamos que hay 800 litros a los 4 minutos, 600 litros a los 6 minutos y 400 litros a los 8 minutos. Magnitud “Cantidad en litros” 800  600  400 Magnitud “Tiempo en minutos” 4  6  10 PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 4 < 6 < 8  800 > 600 > 400 Al aumentar el tiempo disminuye la cantidad. Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. Pero: Magnitud “Cantidad desalojada en litros” 800 – 600  600 – 400 Magnitud “Tiempo transcurrido en minutos” 6 – 4  8 – 6 Vemos que la razón es la misma: 200 / 2 = 200 / 2 = 100 Las magnitudes “Cantidad de agua desalojada” y “Tiempo empleado” son directamente proporcionales. La constante r = 100 indica que el agua se desaloja a razón de 100 litros por minuto. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Contraejemplo CONTRAEJEMPLO Una persona gana 12 € si trabaja 2 horas, 15 € si trabaja 3 horas, 20 € si trabaja 4 horas, etc. Magnitud “Ganancias” 12  15  20 Magnitud “Horas trabajo” 2  3  4 PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser la misma. 12 15 20 --- = 6 ,, ---- = 5 ,, ----- = 5 , como vemos NO es un valor constante 2 3 4 Las dos magnitudes dadas NO son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Regla de tres simple directa Si dos magnitudes son directamente proporcionales, podemos aplicar para la resolución del ejercicio la llamada REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. EJEMPLO 1: Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas.¿Cuánto ganará si trabaja 15 horas?. Suponemos que el sueldo de cada hora es fijo, constante: Son D.P. 2 h  8 € 15 h  x € Se multiplican en cruz y se igualan: 2.x = 15.8  2.x = 120  x = 120 / 2 = 60 € La razón de proporcionalidad sería, en este caso: 8 60 --- = ---- = r , de donde r = 4 , que es lo que vale la hora trabajada. 2 15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Regla de tres simple directa Ejemplo 2 Si cuatro cuadernos nos han costado 8 €, ¿cuánto nos costarán 7 cuadernos?. Suponemos que el precio de cada cuaderno es fijo, constante, por lo que las magnitudes son D.P. 4 c  8 € 7 c  x € Se multiplican en cruz y se igualan: 4.x = 7.8  4.x = 56  x = 56 / 4 = 14 € La razón de proporcionalidad sería, en este caso: 8 14 --- = ---- = r , de donde r = 2 , que es lo que vale cada cuaderno. 4 7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Regla de tres simple directa Ejemplo 3 Si tres pintores tardan 4 días en pintar una casa, ¿cuántos días tardarán en pintar la misma casa seis pintores?. Suponemos que las magnitudes son D.P. 3 p  4 d 6 p  x d Se multiplican en cruz y se igualan: 3.x = 6.4  3.x = 24  x = 24 / 3 = 8 días Vemos que algo está mal. El doble de pintores no pueden tardar el doble de tiempo, sino la mitad del tiempo. No se puede aplicar la regla de tres simple directa, porque las magnitudes (nº de pintores y tiempo en días) no son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.