Deformaciones en la Flexión Diagrama de Momentos Reducidos Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Introducción Bajo la acción de las cargas, la fibra neutra adopta una determinada curvatura La fibra más alejada experimenta un alargamiento total: de los triángulos semejantes OCE y OC’E’ se deduce que: Conforme a la Ley de Hooke: que debe igualar a: (tensión normal en flexión) de donde: Consideremos una viga sometida a flexión, empotrada en un extremo y libre en el otro:

Introducción Radio de Curvatura y por ser  un ángulo pequeño será: como para valores crecientes de z corresponden valores decrecientes de  habrá que afectar la expresión anterior con un signo menos (-), así: Tomando sobre la elástica dos puntos a y b. Las normales trazadas por estos puntos se cortan en C, verificándose:

dq C Consideremos una porción de línea elástica comprendida entre dos puntos cualesquiera A y B. B r línea elástica Consideramos dos secciones muy próximas, separadas entre si ds  dz. Ambas presentan un giro relativo d. A q dz ds Las tangentes a la línea elástica en los puntos extremos, (AB’ y A’B), forman entre si un ángulo  que suponemos pequeño. B’ Supongamos que el diagrama entre los puntos A1 y B1 es el diagrama de momentos flectores dividido por E.J (cambio la escala del diagrama) A’ A1 B1 M/(E.J) Diagrama de momentos reducidos Es de nuestro interés calcular la flecha y la rotación relativa de una sección dada, para ello, procedemos como sigue:

La rotación relativa de una sección dada, la calculamos como sigue: dq C A B A1 B1 r M/(E.J) A’ B’ dz ds q El área sombrada será: El resultado de la integral dada por esta ecuación no es sino el área del diagrama de momentos reducidos. TEOREMA I: “El ángulo  comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos.” La rotación relativa de una sección dada, la calculamos como sigue:

dq C A B A1 B1 r M/(E.J) A’ B’ dz ds q Podemos apreciar que cada segmento ds de la elástica contribuye a la longitud f en una cantidad: f integrando estas distancias podemos obtener el valor de f: df Momento estático con respecto a B del área del diagrama de momentos reducidos TEOREMA II: “Dado dos puntos A y B pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de B respecto a la tangente en A es igual al momento estático con respecto a B del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.” z La flecha de una sección dada, la calculamos como sigue. Observemos el segmento BB’:

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias