Apuntes 2º Bachillerato C.S. DETERMINANTES U.D. 3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PARÁMETROS EN SISTEMAS U.D. 3.6 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Recordatorio DISCUSIÓN Si al reducir la matriz ampliada AM a la forma triangular aparece alguna fila en la que son nulos todos los elementos, excepto el correspondiente al término independiente, el sistema es INCOMPATIBLE ( No tiene solución). [ h = 0 , j <> 0 ] En caso contrario es sistema es COMPATIBLE (Tiene solución) y se distinguen dos casos: Si el número de filas no nulas en la matriz triangular coincide con el número de incógnitas, el sistema es DETERMINADO. ( Tiene UNA única solución ) Si el número de filas no nulas en la matriz triangular es menor que el número de incógnitas, el sistema es INDETERMINADO. ( Tiene INFINITAS soluciones ) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 1 Sea ax + y + z = 3 a 1 1 3 x + ay + z = 3  AM = 1 a 1 3 x + y + az = 3 1 1 a 3 Al aplicar Gauss en la matriz AM queda 1 1/a 1/a 3/a 1 1/a 1/a 3/a AM = 1 a 1 3  0 a-1/a 1-1/a 3-3/a 1 1 a 3 0 1-1/a a-1/a 3-3/a 1 1/a 1/a 3/a a 1 1 3 0 a-1/a 1-1/a 3-3/a  0 (a+1)(a-1) a-1 3(a-1) 0 1-1/a a-1/a 3-3/a 0 a-1 (a+1)(a-1) 3(a-1) a 1 1 3 a 1 1 3 0 0 -a(a-1)(a+2) -3.a(a-1)  0 1 a+1 3 0 a-1 (a+1)(a-1) 3(a-1) 0 0 a+2 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. DISCUSIÓN: a 1 1 3 0 1 a+1 3 0 0 a+2 3  j = a+2 , h= 3 Si a+2 = 0 el sistema es incompatible, pues j =0 y h<>0 (h=3<>0) Si a+2 = 0  a = -2 Si a <> -2 el sistema es compatible al ser j<>0. Si a = 1 Las tres filas son idénticas. Por tanto el rango de A es igual al rango de AM = 1 El sistema es compatible e indeterminado. Si a <>1 y a <> -2 El sistema es compatible y determinado, pues rg(A)=rg(AM) = n = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RESOLUCIÓN: Para a <> -2 a 1 1 3 0 1 a+1 3 0 0 a+2 3 Por Gauss: (a+2).z = 3  z = 3 / (a+2) y+ (a+1).3/(a+2) = 3  y = 3 – 3(a+1)/(a+2) = 3/(a+2) a.x + y + z = 3  x = [3 – 3/(a+2) – 3/(a+2)] / a = 3.a/a = 3 Para a = 1 x = 3 – y – z Si a <>1 y a <> -2 Idem para a <> -2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 2 Sea x + y + z = 3 1 1 1 3 x + 2y – 3z = 5 1 2 - 3 5 2x + 3y – 2z = 8  2 3 - 2 8 y – 4z = a 0 1 - 4 a Al aplicar Gauss en la matriz AM queda 1 1 1 3 1 1 1 3 AM = 0 1 -4 2  0 1 -4 2 0 1 -4 2 0 1 -4 a 0 1 -4 a 0 0 0 0 1 1 1 3 AM = 0 1 -4 2  Caso 1: a-2 = 0  a=2 0 0 0 a-2 Caso 2: a-2 <> 0  a<>2 0 0 0 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Resolución Para b = 2 Rg (A)=2, rg(AM) =2 , n= 3 Sistema compatible e indeterminado. x + y + z = 3 y – 4z = 2 Por Gauss: y = 2 + 4.z x = 3 – z – y = 3 – z – (2 + 4z) = 1 – 5.z Para b <> 2 Rg (A)=2, rg(AM) =3 Sistema incompatible. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.