U.D. 11 * 2º ESO ÁREAS Y VOLÚMENES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

U.D. 11.2 * 2º ESO VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO ÁREAS DE LA PIRÁMIDE Área lateral Es el área de todos los triángulos isósceles laterales. Al ser la base un polígono, si n es el número de lados, l la medida de cada lado, y Apo la apotema de la pirámide, tenemos: Al = n.(l.Apo/2) = n.l.Apo/2 = P.Apo / 2 Siendo P el perímetro de la base. Área de la base Si es un cuadrado: Ab = l2 Si es un hexágono: Ab = l2.√3 / 4 Etc. Área total Es la suma del área lateral y de la única base. At = (P.Apo / 2) + Sb @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplos Ejemplo_1 La altura de una pirámide recta de base cuadrada es 4 cm y el lado de la base mide 6 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = P. Apo / 2 La apotema es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la mitad del lado de la base. Apo = √ [(l/2)2 + h2)] = √ (32 + 42) = 5 cm Luego: Al = P. Apo / 2 = 4.6.5 / 2 = 60 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplos Ejemplo_2 La arista lateral de una pirámide cuadrada es 13 cm y el lado de la base mide 10 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = P. Apo / 2 La arista lateral es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la apotema y la mitad del lado de la base. al = √ [(l/2)2 + Apo2)]  132 = 52 + Apo2   Apo2 = 144  Apo = 12 cm Luego: Al = P. Apo / 2 = 4.10.12 / 2 = 240 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplos Ejemplo_2 El lado de la base exagonal de una pirámide regular mide 6 cm y la altura mide 10 cm. Hallar el área lateral y el total. El área de la base es: Ab = l2.√3 / 4= 62.√3 / 4= 15,59 cm2 El área lateral es: Al = P. Apo / 2 Calculamos la Apotema, que es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la apotema de la base. Apo = √ [h2 + (l.√3 / 2)2]  Apo = √ [102 + (6.√3 / 2)2]   Apo = √ [100 + 5,192]  Apo = √ 100+27 = 11,27 cm Luego: Al = P. Apo / 2 = 6.6.11,27 / 2 = 202,85 cm2 At = Ab+Al = 15,59+202,85 = 218,44 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma que tiene idéntica superficie de la base e igual altura. Por tanto tenemos: V = Sb.h / 3 Es indiferente el polígono de la base, con tal de tener IGUAL ÁREA que el prisma. La base pues puede ser un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, rombo, pentágono, hexágono, etc ), o un polígono irregular (triángulo, rectángulo, romboide, trapecio, trapezoide, etc) h h a l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 1 Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada, de 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. El volumen es: V = Ab.h / 3 = l 2. h / 3 = 5 2 .10 / 3 = 250 / 3 cm2 Ejemplo 2 Hallar el volumen de una pirámide de base exagonal inscrita en un cubo de 6 cm de arista. El lado del exágono de la base será la mitad del lado del cubo. V = Ab.h / 3 Ab = p.apo/2 = [6.(6/2)].[3.√3 / 2] / 2 = = 18.1,5.√3 / 2 = 13,5.√3 cm2 V = 13,5.√3. 6 / 3 = 27.√3 cm3 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 3 Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. Hallar las dimensiones de una pirámide regular de igual altura y volumen, sabiendo que su base es hexagonal. El volumen del prima regular dado será: V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 En la pirámide: V = Ab.h = Ab. 10 250 = Ab.10  Ab = 25 cm2 En el hexágono: A = 6.l.[ l.√3 / 2) / 2 25 = 6 l 2 . √3 / 4  100 / 6√3 = l 2 l 2 = 9,62  l = 3,10 cm es el lado del hexágono de la base. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO