POLINOMIOS U. D. 5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS U. D. 5.7 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. PASOS A TENER EN CUENTA 1.‑ Extraer factor común, reduciendo el polinomio a factorizar. P(x) = x3 – 9.x = x.(x2 – 9) Finalmente: P(x) = x.(x + 3).(x – 3) 2.‑ Ordenarlo de forma decreciente. P(x) = 4 – x3 – 9.x = – x3 – 9.x + 4 Imprescindible para poder aplicar Ruffini. 3.- Utilizar las identidades notables. P(x) = 4.x2 – 9 = (2.x – 3).(2.x + 3) Finalmente: P(x) = 4.(x + 3/2).(x – 3/2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 4.‑ Buscar, aplicando el Teorema del Resto, las posibles raíces enteras. P(x) = x3 – 9 PRE = {-1, +1, -3, +3, -9, +9}, los divisores de 9 en este caso. P(-1)= …, P(1)= …, P(-3)= … 5.‑ Una vez encontrada alguna raíz, aplicar la Regla de Ruffini para hallar las restantes, cuidando que alguna de ellas se puede repetir varias veces. P(x) = x3 – 5.x2 + 3.x + 9 P(x) = (x – 3). (x – 3). (x + 1) Q(x) = x3 – 3.x2 + 3.x – 1 Q(x) = (x – 1). (x – 1). (x – 1) 6.‑ Si algún cociente fuera de grado 2, se puede aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado, pudiendo hallar de esta forma raíces no enteras (racionales e irracionales) si las hubiera. P(x) = (x – 2).(x + 3).(x2 – 2) Aplicamos la fórmula para resolver x2 – 2 = 0 y obtenemos las dos raíces que nos faltan que resultan ser irracionales (√2 y – √2). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 7.‑ Si el polinomio es de grado impar, tiene al menos una raíz real aunque no sea entera. Si P(a) > 0 y P(b) < 0, entre a y b podemos asegurar que existe una raíz, un valor der x que hace que el valor del polinomio sea cero. Ello es muy importante, sobre todo cuando las raíces no sean enteras; habrá que hallarlas entonces por aproximación. P(x) = x3 – 5  No hay raíces enteras. P(1) = – 4 , P(2) = 3  Entre x=1 y x= 2 hay una raíz. 8.‑ Una vez halladas todas las existentes, poner el polinomio dado en forma factorial: P(x) = k.(x – a).(x – b).(x – c).(x – d)...., siendo a, b, c, d, ... las raíces halladas. P(x) = 2.(x – 2).(x + 3)2 .(x + 3/2).(x + √2). (x – √2) Como se ve puede haber raíces fraccionarias (– 3/2), irracionales (√2, –√2), raíces que se repiten (– 3), enteras (2) y algún factor constante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CASOS A CONSIDERAR ( I ) Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. CASOS A CONSIDERAR 1.- Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a.x3 + b. x2 + c.x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x.(a.x2 + b. x + c ) Ejemplos 1.- P(x) = 3.x3 + 4.x  Extraemos factor común a x P(x) = x.(3.x2 + 4 ) 2.- P(x) = 2.x4 - 3.x2  Extraemos factor común a x P(x) = x.(2.x3 - 3.x ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CASOS A CONSIDERAR ( II ) 2.- Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. Ejemplos x2 + 2.x.y + y2 = ( x + y )2 = ( x + y ) ( x + y ) x2 - 8.x + 4 = ( x - 4 )2 = ( x - 4 ) ( x - 4 ) x2 / 4 – 9 = (x/2 + 3 ) . ( x/2 – 3 ) x3+ 6.x2 + 12.x + 8 = ( x + 2 )3 = ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) x4 - 3.x2 = ( x2 + √3.x) ( x2 – √3.x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CASOS A CONSIDERAR ( y III ) 3.- Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). En ese caso como P(x) = d(x).c(x) + r(x) y r(x) = 0 Resulta que P(x) = (x - a). c(x) , que es el producto de dos polinomios. Ejemplo Sea P(x) = x3 - 3.x2 + 3.x - 1 Como el 1 es una raíz x3 - 3.x2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x2 – 2.x + 1) Y ya estaría factorizado. Pero como ( x2 – 2.x + 1) = (x – 1) .(x – 1) Quedaría mejor x3 - 3.x2 + 3.x - 1 = ( x - 1).( x - 1).( x - 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ecuaciones BICUADRADAS ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Son aquellas que, mediante un cambio de variable, se transforman en ecuaciones de segundo grado. Tiene la forma a.x4 + b. x2 + c = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado. También tienen la forma a.x6 + b. x3 + c = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: Pero, como cualquier otra ecuación polinómica, podemos hallar sus soluciones sabiendo que son las raíces de su polinomio característico. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación x4 - 13.x2 + 36 = 0 Polinomio característico: P(x) = x4 - 13.x2 + 36 Buscamos sus cuatro raíces, si las hay. Posibles raíces enteras: PRE = {1,–1, 2, –2, 3, –3, 4, – 4, 6, –6, 9, –9, 12, –12, 18, –18, 36, –36 } Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – 13 + 36 = 24 <> 0  El 1 no es raíz de P(x) P(-1) = 1 – 13 + 36 = 24 <> 0  El -1 no es raíz de P(x) P(2) = 16 – 52 + 36 = 0  El 2 es raíz de P(x) P(-2) = 16 – 52 + 36 = 0  El -2 es raíz de P(x) P(3) = 81 – 117 + 36 = 0  El 3 es raíz de P(x) P(-3) = 81 – 117 + 36 = 0  El -3 es raíz de P(x) Ya hemos hallado las cuatro raíces del polinomio. Son las cuatro soluciones de la ecuación. x1 = 2 , x2 = – 2 , x3 = 3 , x4 = – 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 2 Resuelve la ecuación 3.x4 - 74.x2 - 25 = 0 Polinomio característico: P(x) = 3.x4 - 74.x2 - 25 Buscamos sus cuatro raíces, si las hay. Posibles raíces enteras: PRE = {1,–1, 5, – 5, 25, –25 } Por el Teorema del Resto: P(1) = 3 – 74 – 25 = – 96 <> 0  El 1 no es raíz de P(x) P(-1) = 3 – 74 – 25 = – 96 <> 0  El -1 no es raíz de P(x) P(5) = 1875 – 1850 – 25 = 0  El 5 es raíz de P(x) P(-5) = 1875 – 1850 – 25 = 0  El -5 es raíz de P(x) Por el Teorema del Factor: P(x) = (x – 5 )·(x + 5)· C(x) Hallamos el cociente C(x) aplicando Ruffini: Para ello divido P(x) entre (x – 5) Y después divido el cociente obtenido entre (x + 5) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

…Ejemplo 2 Resuelve la ecuación 3.x4 - 74.x2 - 25 = 0 Divido por Ruffini: 3 0 – 74 0 – 25 5 15 75 5 25 3 15 1 5 0 – 5 – 15 0 – 5 3 0 1 0 El cociente obtenido es: C(x) = 3.x2 + 1 Igualo a cero y resuelvo: 3.x2 + 1 = 0  3.x2 = – 1  x2 = – 1/3  x = √ – 1/3 No hay ningún valor de x tal que C(x) = 0 Las dos soluciones reales de la ecuación son: x1 = 5 , x2 = – 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 3 Resuelve la ecuación x6 - 9.x3 + 8 = 0 Polinomio característico: P(x) = x6 - 9.x3 + 8 Buscamos sus seis raíces, si las hay. Posibles raíces enteras: PRE = {1,–1, 2, – 2, 4, –4, 8, –8 } Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – 9 + 8 = 0  El 1 es raíz de P(x) P(-1) = 1 + 9 + 8 = 18 <> 0  El -1 no es raíz de P(x) P(2) = 64 – 72 + 8 = 0  El 2 es raíz de P(x) P(-2) = 64 + 72 + 8 = 144 <> 0  El -2 no es raíz de P(x) P(4) = 4096 – 576 + 8 = 3528 <> 0  El 4 no es raíz de P(x) Ni el – 4 ni el – 8 pueden serlo por dar todos los sumandos positivos. P(8) = 262144 – 4608 + 8 = 257544 <> 0  El 8 no es raíz de P(x) Las dos soluciones reales de la ecuación son: x1 = 1 , x2 = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.