Matemáticas 1º Bachillerato CT TRIGONOMETRÍA U.D. 10 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO U.D. 10.8 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT TEOREMA DEL SENO TEOREMA DEL SENO En todo triángulo una altura parte al triángulo en dos triángulos rectángulos. En el triángulo AHB podemos poner: sen B = h / c En el triángulo ACH podemos poner: sen C = h / b Como la altura h es común a los dos triángulos, la despejamos e igualamos sus resultados: h=c.sen B ,, h=b.sen C   c.sen B = b.sen C Trazando otra altura cualquiera y repitiendo el proceso quedaría: a.sen B = b.sen A y también c.sen A = a.sen C A b c h B C B H a C Englobando dos cualesquiera de los resultados queda: a b c -------- = -------- = --------- sen A sen B sen C Que es la fórmula resultante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT TEOREMA DEL SENO La fórmula obtenida para el teorema del Seno es la misma con independencia de si el triángulo es acutángulo u obtusángulo. Observar en la figura de la izquierda que la altura correspondiente al vértice A queda fuera del área del triángulo y no corta al lado a. Pues bien, también se forman dos triángulos rectángulos, uno el de color naranja y otro la suma del naranja más el amarillo. Y también la altura es común a los dos. A tener en cuenta que sen B = sen B’ Casos que resuelve Si tenemos dos lados del triángulo y un ángulo distinto del que comprenden. Si tenemos dos ángulos y un lado. A b c h B C B’ H B a C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 1 Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: A=100º, a=5 cm, b= 3 Por el Teorema del Seno: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: 5 3 c ----------- = -------- = --------- sen 100 sen B sen C Tenemos: 5.sen B = 3.sen 100  sen B = 3.0,9848 / 5 = 9,5901 Luego B=arcsen 0,5901 = 36’22º y 143’78º Si el ángulo A ya es obtuso, B debe ser agudo, luego B=36’22º El ángulo C valdrá: C = 180 – A – B = 180 – 100 – 36’22 = 43’78º Volviendo al Teorema del seno: a.sen C = c.sen A  c = 5.sen 43’78 / sen 100 = 5.0’6919 / 0’9848 = 3,51 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 2 Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: B=45º, C=75º, a = 10 cm Hallamos el ángulo A: A = 180 – B – C = 180 – 45 – 75 = 60 Por el Teorema del Seno: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: 10 b c ----------- = --------- = ---------- sen 60 sen 45 sen 75 Tenemos: 10.sen 45 = b.sen 60   b = 10.0’7071 / 0,8660 = 8’165 cm Volviendo al Teorema del seno: a.sen C = c.sen A   c = 10.sen 75 / sen 60 = 10.0’9659 / 0’8660 = 11,15 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT TEOREMA DEL COSENO TEOREMA DEL COSENO En todo triángulo una altura parte al triángulo en dos triángulos rectángulos. En el triángulo AHB podemos poner, mediante Pitágoras: h2 = c2 – m2 Siendo m la proyección de c sobre a. En el triángulo ACH podemos poner: h2 = b2 – n2 Siendo n la proyección de b sobre a. Como la altura h es común a los dos triángulos, igualamos sus resultados: c2 – m2 = b2 – n2 La suma de las proyecciones es el lado a m+n=a  m = a – n c2 – (a – n)2 = b2 – n2 c2 – a2 + 2.a.n – n2 = b2 – n2 A b c h B C m n B H a C Finalmente como n=b.cos C c2 – a2 + 2.a.b.cos C = b2 Despejando c2 queda: c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C que es la fórmula buscada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT TEOREMA DEL COSENO Si trazamos otra altura cualquiera y repetimos el proceso, obtendremos otras dos fórmulas del Teorema del Coseno. En total tendremos tres muy semejantes: c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A Casos que resuelve Si tenemos dos lados del triángulo y el ángulo que comprenden. Si tenemos los tres lados. Nota: Tener los tres lados del triángulo no significa que tenga solución. Ejemplo: a=3, b=4, c= 8 A b c h B C m n B H a C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 3 Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: a=5 cm, b= 3 cm, C = 100º Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: 5 / sen A = 3 / sen B = c / sen 100 Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil. Nos vamos al T. del Coseno. c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C , al conocer el ángulo C c2 = 52 + 32 – 2.5.3.cos 100  c2 = 39’21  c = 6’26 cm Volviendo al Teorema del seno: a.sen C = c.sen A  sen A = 5.sen 100 / 6’26 = 0’7866  A = arc sen 0,7866 = 51’87º y 128’13º, que no vale al ser C >90º Y finalmente hallamos B = 180 – A – C = 180 – 51’87 – 100 = 28’13º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo 4 Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: a=5 cm, b= 3 cm, c = 7 cm Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: 5 / sen A = 3 / sen B = 7 / sen C Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil. Nos vamos al T. del Coseno, con una cualquiera de las fórmulas. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , para hallar el ángulo A 52 = 32 + 72 – 2.3.7.cos A  cos A = (9 + 49 – 25) / 2.3.7 = 0,7857   A = arcos 0,7857 = 38,21º y - 38’21º, esta última no vale. Volviendo al Teorema del seno: a.sen C = c.sen A  sen C = 5.sen 38,21º / 7 = 0,4418   C = arcsen 0,4418 = 26,22º y 153’78º , que pueden valer las dos. Y finalmente hallamos B = 180 – A – C = 180 – 38,21º – 26,22º = 115’57º ; Y también: B = 180 – A – C = 180 – 38,21º – 153,78º = – 12º , que no vale @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT ÁREA DEL TRIÁNGULO ÁREA DEL TRIÁNGULO El área de un triángulo es A = a.h / 2 En el triángulo AHB podemos poner: h = c.sen B En el triángulo ACH podemos poner: h = b.sen C El área será: A= ½ a.c.sen B Y también: A= ½ a.b.sen C Igualmente, si hubiéramos trazado otra altura distinta, tendríamos: A= ½ b.c.sen A Que son las tres fórmulas trigonométricas utilizadas para hallar el área de un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo que forman. A b c h B C B H a C Si conocemos los tres lados, lo usual es emplear la fórmula: A = √ [ p.(p – a).(p – b).(p – c) ] Siendo p el semiperímetro: p = (a+b+c)/3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 5 Hallar el área de los triángulos de los ejercicios anteriores. 5.1 a=5, b=3, C=43’78º El área será: A= ½ a.b.sen C A= ½ 5.3.sen 43’78º = 5,19 cm2 5.2 a=10, B=45º, c=11,15 El área será: A= ½ a.c.sen B A= ½ 10.11,15.sen 45º = 39,42 cm2 5.3 a=5, b=3, C=100º A= ½ 5.3.sen 100º = 7,386 cm2 5.4 A=38,21º, b=3, c=7 El área será: A= ½ b.c.sen A A= ½ 3.7.sen 38’21º = 6,4947 cm2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT