INECUACIONES U. D. 6 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS U. D. 6.4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

INECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS Inecuación lineal con dos incógnitas es la que suele expresarse mediante cualquiera de las desigualdades siguientes: a.x + b.y ≤ c También y ≤ m.x + n a.x + b.y ≥ c También y ≥ m.x + n a.x + b.y < c También y < m.x + n a.x + b.y > c También y > m.x + n Es muy conveniente trabajar con la forma explícita de la ecuación, o sea despejando la y si no lo estuviera. La solución es el conjunto de pares (x,y) que satisface la desigualdad. La solución siempre va a ser un SEMIPLANO. Para hallar la solución de una inecuación lineal con dos incógnitas debemos recurrir al método gráfico. La frontera del semiplano puede o no formar parte de la solución si la inecuación contiene o no el signo de la igualdad (=). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

RESOLUCIÓN a.x + b.y ≤ c Sólo se puede resolver de forma gráfica. Sea la inecuación lineal con dos incógnitas: a.x + b.y ≤ c Sólo se puede resolver de forma gráfica. Se despeja una incógnita, generalmente la y: y ≤ m.x + n Se representa la función lineal asociada: y = m.x + n Esa función lineal, una recta, se llama recta frontera, por separar dos zonas del plano, una de las cuales es la solución de la inecuación. Si el signo de la desigualdad contiene el signo “=“, la recta frontera se dibujará de un solo trazo. En ese caso los puntos de la recta son parte de la solución. Si el signo de la desigualdad no contiene el signo “=“, la recta frontera se dibujará de trazo discontinuo. En ese caso los puntos de la recta no son parte de la solución. Si la inecuación es de la forma: y ≤ m.x + n o y < m.x + n, la solución de la inecuación son todos los puntos situados en el semiplano INFERIOR a la recta. Si la inecuación es de la forma: y ≥ m.x + n o y > m.x + n, la solución de la inecuación son todos los puntos situados en el semiplano SUPERIOR a la recta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 1 – x + 2 y – 2 ≤ 0 Despejada “y”: 2y ≤ x + 2 y ≤ (x + 2) / 2 y ≤ 0,5 .x + 1 Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 0 1 - 2 0 Como y ≤ … la solución es el semiplano inferior. El punto ( 1, 3 ) no pertenece a la solución El punto ( 0, -3 ) pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 2 x + y – 4 > 0 El punto ( 4 , 4 ) pertenece a la solución Despejada “y”: y > 4 - x Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 0 4 4 0 Como y > … la solución es el semiplano superior Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. El punto ( 4 , 4 ) pertenece a la solución El punto ( 0, 0 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 3 y + 4 > 0 Despejada “y”: y > - 4 Dos puntos de la recta frontera Tabla: x y 0 - 4 4 - 4 Como y > … la solución es el semiplano superior Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. El punto ( - 3, 5 ) pertenece a la solución El punto ( 0, - 4 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 4 x – 3 ≥ 0 Despejada “y”: (NO tenemos y) x ≥ 3 Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 0 3 3 3 Como x > … la solución es el semiplano derecho Como contiene el signo igual (=), la recta frontera forma parte de la solución. El punto ( 5, 3 ) pertenece a la solución El punto ( 0, - 2 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

INECUACIÓN CUADRÁTICA CON DOS INCÓGNITAS De las numerosas formas que puede tomar aquí sólo vamos a ver la forma parabólica: a.x2 + b.x + c – y ≤ 0 Se trabaja con la expresión explícita, despejada la y: y ≥ a.x2 + b.x + c La solución es el conjunto de pares (x,y) que satisface la desigualdad. Se representa la función cuadrática asociada: y = a.x2 + b.x + c Esa función se llama recta frontera, por separar dos zonas del plano, una de las cuales es la solución de la inecuación, pudiendo ser la zona interna de la parábola o la zona externa, según el signo de la inecuación. Si el signo de la desigualdad contiene el signo “=“, la parábola frontera se dibujará de un solo trazo. En ese caso los puntos de la recta son parte de la solución. En caso contrario se dibujará a trazo discontinuo. En ese caso los puntos de la recta no son parte de la solución. Si la inecuación es de la forma: y ≤ … o y < …, la solución de la inecuación son todos los puntos situados por DEBAJO de la parábola frontera. Si la inecuación es de la forma: y ≥ … o y > …, la solución de la inecuación son todos los puntos situados por ENCIMA de la parábola frontera. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 1 x2 – 3.x + 2 – y ≤ 0 Despejada “y”: y ≥ x2 – 3.x + 2 Unos puntos de la parábola frontera: Tabla: x y 0 2 1 0 2 0 3 2 Como y > … la solución es hacia arriba. Como contiene el signo igual (=), la frontera forma parte de la solución. El punto ( 3, 2 ) pertenece a la solución El punto ( 0, 1 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 2 4 – x2 – y > 0 El punto (3, 2) no pertenece a la solución Despejada “y”: y < – x2 + 4 Unos puntos de la parábola frontera: Tabla: x y -2 0 0 4 2 0 Como y < … la solución es hacia abajo. Como no contiene el signo igual (=), la frontera no forma parte de la solución. El punto (3, 2) no pertenece a la solución El punto ( – 1 , 1 ) pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.