Matemáticas 2º Bachillerato C.T. DERIVADAS U.D. 5 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN U.D. 5.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA Y TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = ----------------- b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + ▲x) - f(a) TVI = lím ------------------------- ▲x 0 ▲x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. Si tomamos los puntos Po y P1 y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. La pendiente m de dicha recta será: Δ y y1 - yo m1 = ------ = ------------ , Δ x x1 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. P1 y1 P2 Po yo xo x1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA ….. ( Continuación) Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. La pendiente m de la nueva secante será: Δ y y2 - yo m2 = ------ = ------------- , Δ x x2 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. P1 P2 y2 P0 yo xo x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA ….. ( Continuación) Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) La pendiente de esa recta tangente será: yn - yo 0 m = lím ------------- = [----] xxo xn - xo 0 m = resultado de la indeterminación, si lo hay. P1 P2 P3 P4 P0 yo xo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. DERIVADA … ( Final). La pendiente de esa recta tangente será: yn – yo 0 m = lím ----------- = ---- xxo xn - xo 0 A ese límite concreto es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) FUNCIÓN DERIVADA No es lo mismo la derivada de una función en un punto ( que es un número), que la función derivada (que es una función). y1 y2 yo xo x2 x1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. DERIVADAS LATERALES Se llama derivada por la izquierda de f(x) en xo a: f (xo + ▲x) – f(xo) f ´ (xo-) = lím ------------------------- ▲x 0- ▲x Se llama derivada por la derecha de f(x) en xo a: f ´ (xo+) = lím ------------------------- ▲x 0+ ▲x Sólo existirá la derivada en un punto si los límites laterales coinciden. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_1 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 9 , si x ≤ 3  Función cuadrática Sea f(x) = x - 3 , si x > 3  Función lineal A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=3 (3 + h)2 – 9 – (32 – 9) 3 2 + 2.3.h + h2 – 9 – 32 + 9 Lím ---------------------------- = lim -------------------------------------- = 6 h0 - h h0 - h (3 + h) – 3 – (3 – 3) 3 + h – 3 – 3 + 3 Lím ---------------------------- = lim ------------------------- = h / h = 1 h0 + h h0 - h Las derivadas laterales no coinciden. No es derivable en x=3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_2 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 4 , si x ≤ 2  Función cuadrática Sea f(x) = 4.x – 8 , si x > 2  Función lineal A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=2 (2 + h)2 – 4 – (22 – 4) 2 2 + 2.2.h + h2 – 4 – 22 + 4 Lím ---------------------------- = lim -------------------------------------- = 4 h0 - h h0 - h 4(2 + h) – 8 – (4.2 – 8) 8 + 4.h – 8 – 8 + 8 Lím ------------------------------- = lim ------------------------- = 4.h / h = 4 h0 + h h0 + h Las derivadas laterales coinciden. La función es derivable en x=2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.