GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA U.D. 12 * 1º BCT GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y SIMETRÍAS U.D. 12.6 * 1º BCT ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y SIMETRÍAS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS 1.- PARTIENDO DE LOS VECTORES DIRECTORES Sea la recta r: Ax+By+C = 0 y la recta s: A’x+B’y+C’=0 Sus vectores directores serán: u(-B, A) y u’(-B’, A’) respectivamente. Mediante el producto escalar, u.u’ =|u|.|u’|.cos α, obtenemos el ángulo: cos α = u.u’ / |u|.|u’| (-B, A).(-B’, A’) cos α = -------------------------------- √(A2+B2). √(A’2+B’2) | A.A’+B.B’| α = arcos -------------------------------- La solución será doble, pues por una parte nos dará α y también el suplementario β α s u u’ β r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Hallar el ángulo que forman las rectas r: 3x+4y+8 = 0 y la recta s: x+y=0 Sus vectores directores serán: u(-4, 3) y u’(-1, 1) respectivamente. Por el producto escalar: | (-4).(-1)+3.1| 7 α = arcos -------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0,9899 √((-4)2+32). √((-1)2+12) 5. √2 α = 8,13º  Y el suplementario: β = 171,87º Ejemplo 2 Hallar el ángulo que forman las rectas r: x – y = 0 y la recta s: x + y = 0 Sus vectores directores serán: u(1, 1) y u’(-1, 1) respectivamente. | 1.(-1)+1.1| 0 α = arcos -------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0 √(12+12). √((-1)2+12) √2.√2 α = 90º  Y el suplementario: β = 90º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS 2.- PARTIENDO DE LAS PENDIENTES Sea la recta r: Ax+By+C = 0 y la recta s: A’x+B’y+C’=0 Ambas forman un ángulo α y β con el eje de las X Las pendiente m y m’ serán: m = tg α , m’= tg β El ángulo que forman las dos rectas es la diferencia γ = β – α Por la fórmula de Nepper o de las tangentes, tenemos: tg α – tg β tg γ = | --------------------- | 1 + tg α .tg β m – m’ tg γ = | -------------- | 1 + m.m’ Para un ángulo 0 ≤ γ ≤ 90º γ s β α r β α @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ANEXO.- RECTAS PERPENDICULARES Por la fórmula de Nepper o de las tangentes, tenemos: m – m’ tg γ = | -------------- | 1 + m.m’ El ángulo que forman las dos rectas es de 90º, γ = 90 tg 90º = oo = (m – m’ ) / 0 De donde: 1 + m.m’ = 0  m’ = –1 / m Ejemplo Hallar la recta perpendicular a r:4x – 2y + 7 = 0 y que pasa por el punto A(5, -5) En la recta r: m=-B/A = 2/4 = 0,5 En la perpendicular: m’=-1/0,5 = - 2 Por la ecuación punto-pendiente: y – (– 5)= – 2.(x – 5) y = – 2x + 5 β s γ α r β α @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Problema Hallar los ángulos que forman los lados del triángulo cuyos vértices son: A(0,0), B(5, -2) y C(3,2) Los vectores directores de los lados serán: AB(5, -2), BC(-2, 4) y CA(-3, -2) Ángulo del vértice A: | (5).(-3)+(-2)(-2)| 11 A = arcos ------------------------------------- = arcos ----------- = arcos 0,5665 √(52+(-2)2). √((-3)2+(-2)2) √29.√13 A = 55,49º Ángulo del vértice B: | (5).(-2)+(-2).4| 18 B = arcos ------------------------------------- = arcos ----------- = arcos 0,7474 √(52+(-2)2). √((-2)2+42) √29.√20 B = 41,63º El ángulo C valdrá: C=180º – A – B = 180º – 55,49º – 41,63º = 82,87º Que se puede comprobar aplicando lo mismo que para A y B. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT SIMETRÍA CENTRAL Dado un punto M, los puntos A y A’ son simétricos en la simetría central de centro M cuando M es el punto medio del segmento de extremos A y A’. x2 + x1 y2 + y1 xo = ---------- ; yo = ---------- 2 2 d (A, M) =d (A’, M) √ [ (x2 – xo) 2 + (y2 – yo) 2 ] = √ [ (x1 – xo) 2 + (y1 – yo) 2 ] y Ejemplo Hallar el simétrico del punto A(2, -3) respecto al punto M(0, 5) 2 + x2 – 3 + y2 0 = ---------- ; 5 = ------------ 2 2 2 + x2 = 0  x2 = - 2 - 3 + y2 = 10  y2 = 13 Punto simétrico: A’ (- 2, 13) A’ (x2, y2) M(xo, yo) A (x1, y1) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT SIMETRÍA AXIAL Dado una recta fija, r, llamada eje de la simetría, los puntos A y A’ son simétricos en la simetría axial de eje r, cuando el segmento AA’ es perpendicular a r y además el punto de corte de dicho segmento con el eje es su punto medio. Ejemplo 1 Hallar el simétrico del punto A(0, 3) respecto a la recta r: x + y – 9 = 0 La pendiente de r vale m= -1 La pendiente de AA’ es m’=-1/m = 1 La recta AA’ es: s: y – 3 = x El punto de corte, M, será: r: y = – x – 9 s: y = x + 3 x+3 = – x – 9  x = – 6  y = – 3 Por ser punto medio, tenemos: - 6 =(0+x2)/2 ; - 3 = (3 + y2) / 2 x2= - 12,, y2= - 9  A’(- 12, - 9) y r A’ (x2, y2) M(xo, yo) A (x1, y1) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT SIMETRÍA AXIAL Ejemplo 2 Hallar el valor de p en la simetría axial de eje r: 3x + y + p = 0, para que los puntos A(2, 4) y A’(- 1, 3) sean simétricos. La pendiente de AA’ es m’=(4 – 3)/(2 – (– 1))=1/3 El punto medio es: xo =(2 – 1)/2 = 0,5 ; yo = (4+3)/2 = 3,5  M(0’5, 3’5) Hallamos la pendiente del eje r: m= - A/B = -3/1 = - 3 Vemos que el segmento AA’ es perpendicular al eje r, pues 1/3.(-3)=-1 Finalmente M debe pertenecer al eje r: 3x + y + p = 0 3.0’5 + 3’5 + p = 0  1’5 + 3’5 + p = 0  p = – 5 De todas las infinitas rectas. Será eje de simetría axial: r: 3x + y – 5 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT SIMETRÍA AXIAL Ejemplo 3 Hallar el valor de p en la simetría axial de eje r: 5x – 10y +p = 0, para que los puntos A(5, 3) y A’(- 2, p) sean simétricos. La pendiente de r vale m= -A/B = 5/10 = 0,5 La pendiente de AA’ es m’=-1/m = -1/ 0,5 = - 2 La recta AA’ es: s: y – 3 = - 2(x – 5) , tomando el punto A y el valor de m’. El punto A’(-2, p) debe pertenecer a la recta AA’ s: p – 3 = - 2 (- 2 – 5)  p = 14 + 3 = 17 Si p = 17 el segmento AA’ es perpendicular al eje r. Pero no sabemos si A’(-2, 17) es el simétrico de A(5, 3). Hallamos el punto medio: xo =(-2+5)/2 = 3/2 = 1,5 ; yo = (17+3)/2 = 20/2 = 10  M(1’5, 10) Finalmente M debe pertenecer al eje r: 5x – 10y + 17 = 0 5.1’5 – 10.10 + 17 = 0  7’5 – 100 + 17 = 0  – 75,5 = 0 FALSO NO HAY ningún valor de p que haga A y A’ puntos simétricos respecto a r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT