Clase 7: Probabilidad Modelos de Distribución de Probabilidad Bibliografía: .Botella et al. Cap. 6, 11, 12 y 13. .Ficha de Media y Varianza Muestral como variables aleatorias.

Experimento Aleatorio: evento cuyo resultado (al menos dos resultados posibles) no podemos predecir con certeza (“azarosos”) Suceso Elemental: Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Espacio Muestral: conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio, o sucesos elementales. Suceso: subconjunto de sucesos elementales definidos en base a alguna condición. Verificación de un suceso elemental: es el hecho de que dado un experimento aleatorio, se produzca un suceso elemental.

Lanzar un dado. • Espacio muestral E={1,2,3,4,5,6} • Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} • Otros sucesos: A: “Números menores de 3” A: {1,2}, B: “Números pares” B: {2,4,6} C: “Números Impares” C: {1,3,5}

Dados dos sucesos aleatorios , se denomina unión de sucesos de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B (incluyendo los que están en ambos simultáneamente), es decir A U B : {1, 2, 4, 6}

Dados dos sucesos aleatorios, se denomina intersección de sucesos de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez, es decir,  A ∩ B : { 2 } Cuando la intersección de dos sucesos es un subconjunto vacío, se dice que son sucesos incompatibles o exclusivos B ∩ C: { Ø }

Dados dos sucesos aleatorios , se llama diferencia de sucesos de A y B, y se representa mediante  A-B, al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B: A - B : { 1 }

Llamaremos complementario de un suceso al subconjunto de E integrado por los sucesos elementales no incluidos en ese suceso. A´: { 3, 4, 5, 6 }

Probabilidad La probabilidad de un suceso es un número que cuantifica en términos relativos las opciones o chances de verificación de ese suceso.

Enfoque clásico o a priori Enfoque frecuencialista o a posteriori

Propiedades de la Probabilidad a) La probabilidad de un suceso es un valor que oscila entre 0 y 1 b) Un suceso que no contiene ningún suceso elemental tiene una probabilidad igual a 0, es un suceso imposible c) Un suceso que contiene todos los sucesos elementales del espacio muestral (nA = n) tiene una probabilidad igual a 1, es un suceso seguro d) La suma de las probabilidades de un suceso y su complementario es igual a 1

Variable Aleatoria Una variable aleatoria es una función que asocia un número real, y sólo uno, a cada suceso elemental del espacio muestral de un experimento aleatorio Ejemplo: Experimento aleatorio Tirar cuatro monedas E: {CCCC, CCCS, CCSC, CSCC, SCCC, CCSS, SCCS, CSSC, CSCS, SSCC, SCSC, CSSS, SCSS, SSCS, SSSC, SSSS} Variable aleatoria X: Cantidad de Caras X: {0, 1, 2, 3, 4}

Distribución de Probabilidad E: {CCCC, CCCS, CCSC, CSCC, SCCC, CCSS, SCCS, CSSC, CSCS, SSCC, SCSC, CSSS, SCSS, SSCS, SSSC, SSSS} X N / N total P(X) 1/16 0,06 1 4/16 0,25 2 6/16 0,37 3 4 Distribución de Probabilidad

Requisitos del Modelo Binomial A) Definimos una variable dicotómica a partir del cumplimiento o incumplimiento de una condición (variable de Bernoulli) B) Realización de una secuencia de n ensayos en los que la probabilidad (π) de verificación de la condición es constante. C) Definimos una variable aleatoria, X, como el número de casos de esa secuencia en los que se cumple la condición. X ~ Bi (n,  ) “X tiene distribución binomial de parámetros n y ”. En este modelo la Variable Aleatoria es Discreta!!

Experimento y variable binomial Si X ~ Bi (n, ) entonces X = 0, 1, 2, ..., n y la probabilidad asociada a cada valor de X está dada por la siguiente expresión: k = 0, 1, 2, ..., n donde

Ejemplo Suponiendo que tengo dos pacientes, y que se sabe por datos previos que 1 de cada 10 pacientes tuvo alguna vez en su vida un intento suicida, ¿cuál es la probabilidad de que uno de ellos haya tenido un intento suicida?

El misterioso caso del el Pulpo Paul… ¿Cuál es la probabilidad de qué, eligiendo al azar, haya acertado los 8 resultados del mundial??? Que la sigan chupando!!!! X ~ B (8, 0.5 ) P(X=8) : 0.0039

Ejercicio 3. A) X ~ Bi (12, 0.8 ) A: “Responder Correctamente” P(X≥9) : P(X=9) + P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) 0.2362 + 0.2834 + 0.2061 + 0.0681 = 0.794 B) X ~ Bi (12, 0.5 ) A: “Responder Correctamente” P(X≤8) : 0.003 + 0.016 + 0.054 + 0.121 + 0.193 + 0.226 + 0.193 + 0.121 = 0.927

Pag. 66, Ejercicio 3. C) X ~ B (8, 0.5 ) A: “Responder Correctamente” P(X≥ ?)= ≤ 0.05 Busco qué cantidad de ensayos correctamente respondidos tienen una probabilidad menor a 0.05, si en los ocho ensayos se respondió completamente al azar (0.5). Rta = 7 (porque hay una probabilidad de 0.03 de, respondiendo al azar, acertar 7 de ohco).

Pag 66, Ejercicio 4 A) A: “Abandone por necesidad de trabajar” X ~ B (12, 0.6 ) P(X > 4): 1 – {P(X ≤ 4} : 1- {0.002 + 0.012 + 0.042} : 0.944 B) A: “No abandonar la escuela” P(A): 5700/6000: 0.95 X ~ B (15, 0.95) P (X = 15): 0.463

Pag. 66 – 67, Ejer. 5: I. A) A: “Tener Trastorno Psicológico” X ~ B (6, 0.4) P (X ≥ 5): 0.037 + 0.004 : 0.041 B) A: “No presente Trastorno psicológico” X ~ B (6, 0.6) P (X > 3) : 0.311 + 0.187 + 0.047 : 0.545

Pag. 66 – 67, Ejer. 5: II. A) A: “No elija por vocación” X ~ B (5, 0.2) P (X ≤ 3): 0.328 + 0.41 + 0.205 + 0.051 : 0.994 B) A: “Tener un ingreso inferior al que aspira” P(A): 450/1500 : 0.3 X ~ B (5, 0.3) P (X = 0) : 0.168

Características de la distribución binomial Forma y distribución depende de sus parámetros ( y n) Al aumentar n>>>> se va pareciendo a una normal Al aumentar >>> se va haciendo simétrica cerca del 0.5 (también se va pareciendo a una distribución normal).

B (10, 0.1) B (20, 0.04) B (20, 0.1) Aumento de n Aumento de 

Aumento Aumento de  de n B (20, 0.5) B (20, 0.2) B (50, 0.1)

Puntuaciones Típicas y Escalas Derivadas 29 37 45 53 61 65 Xi X : 45 , S: 8 -2 -1 1 2 2.5 30 40 50 60 70 75 Ti = zi . 10 + 50 CI = zi . 15 + 100 70 85 100 115 130 137.5

Modelo de Distribución de Probabilidad Normal Ampliamente estudiado por Johann Carl Friedrich Gauss, por eso la curva normal habitualmente se llama “campana de Gauss”  Aplicable a Variables Aleatorias Continuas (definidas sobre espacios muestrales infinitos no numerables).

X ~ N( µ, σ) Una variable aleatoria se distribuye según el modelo normal con parámetros µ y σ, si su función de densidad de probabilidad para todo valor de X viene dada por la fórmula:

Propiedades de la Curva Normal: A) Simétrica con respecto al valor central (µ) donde coinciden media, mediana y moda. B) Asintótica con respecto al eje de las abscisas. C) Hay toda una familia de curvas normales dependiendo de sus parámetros. La más importante es la distribución normal unitaria, N(0,1). D) Los puntos de inflexión se encuentran a más / menos una desviación típica (µ ± σ). E) Cualquier combinación lineal de variables aleatorias normales se ajusta también al modelo normal.

Probabilidades en la Distribución Normal: Dado que nos encontramos en un modelo continuo, la probabilidad de hallar un valor puntual de X es igual a 0 (a diferencia de las variables aleatorias discretas) Se realiza integrando la función de densidad entre los valores de interés. Ya no tendrá sentido interrogar : P (X = a) Las preguntas serán sobre : P (a < X < b)

Teorema de Tipificación: P (X < a) P (a < X < b) P (X > a) Tablas: contienen las integrales de las funciones de densidad de la distribución normal unitaria, N(0,1) Teorema de Tipificación: La función de densidad asociada a un valor de una variable aleatoria normal es la misma que la de su valor tipificado. F(Xi) = F(Zi)

Pag 68, Ejercicio 8 A) X ~ N (12, 3) P(Xi < 14) = P ( Zi < 14-12/3) = P (Zi < 0.66): 0.7486 Rta: El rango percentilar es 74,86 B) Z0.1= -1,28 Xi = -1,28 . 3 + 12 Xi = 8,16 C) Z0.95 = 1,65 Xi = 1,65 . 3 + 12 Xi = 16,95

Pag 68, Ejercicio 8 D) X ~ N (12, 3) Zi = (14,52 – 12) / 3 = 0,84 X ~ B (10, 0.2) P (X > 5) = 0,006 + 0,001 = 0,007

Ejercicio 9, pág. 68 A) X ~ N (60, 15) Xi = Z0,8 . 15 + 60 B) X ~ B (15; 0,2) A: “Aprobar el examen” P (X > 5) = 1 – P (X < 6) 0,043 + 0,014 + 0,003 + 0,001 = 0,061

Ejercicio 10, pág. 68. A) X ~ N (7,5; 0,5) Máxima Xi: 1,65 . 0,5 + 7,5 = 8,325 horas Mínima Xi: -1,04 . 0,5 + 7,5 = 6,98 horas B) Zi = (8 – 7,5) /0,5 = 1 Z0,8413 = 1 0,8413 . 160 = 135 personas C) Xi = 2,33 . 0,5 + 7,5 = 8,665 horas D) P (7 < X < 8 ) = P ( -1 < zi < 1) = P (zi < 1) – P (zi < -1) = 0,8413 – 0,1587 = 0,6826

Ejercicio 11, pág. 68 A) X ~ N (25; 2) P (zi > 2) = 1 – P (zi < 2) = 1 – 0,9938 = 0,0062 Rta: 0,62 % B) P(zi < 1,5) – P(zi < 0) = 0,9332 – 0,5 = 0,4332 0,4332 . 120 = 52 personas. C) Xi = -0,52 . 2 + 25 = 23,96

Ejercicio 12 A) Ti = zi . 10 + 50 39,5 = zi . 10 + 50 P(zi < -1,05) = 0,1469 200 . 0,1469 = 29 empleados B) P [(59,5 – 50) /10 < zi < (69,5 – 50) / 10)] P ( 0,95 < zi < 1,95) = F(1,95) – F(0,95) = 0,9744 – 0,8289 = 0,1455 Rta: 14,55%

Ejercicio 12 C) Z0,25 = -0,67 Z0,75 = 0,67 Mínimo Ti = -0,67 . 10 + 50 = 43,3 Máximo Ti = 0,67 . 10 + 50 = 56,7 D) Z0,4 = -0,25 Ti = -0,25 . 10 + 50 = 47,5 Rta: Presenta un nivel normal de estrés.

Ejercicio 13 X ~ N (μ, 6) μ = ? P (X > 65) = 44/200 = 0,22 Z0,78 = 0,77 0,77= 65 – μ 6 μ = 65 – 0,77 . 6 = 60,38 X ~ N (60,38; 6)

Ejercicio 14 X ~ N (210, σ) σ = ? Z0,45 = -0,13 = 185 – 210 σ σ = 185 – 210 = 192,3 -0,13 X ~ N (210; 192,3)

Media y Varianza Muestrales como Variables Aleatorias µ y σ son propiedades numéricas constantes para los individuos de esta población Ingreso: µ : 2500 σ : 300 N : 100.000 N: 50 N: 50 Media: 2450, S: 245 N: 50 N: 50 Media: 2295, S: 308 Media: 2500, S: 321 Media y S son variables aleatorias N: 50 N: 50 Media: 2599, S: 225 Media: 2502, S: 237 Media: 2150, S: 301

Distribución Muestral de la Media Teorema del Límite Central: La distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución normal cuando la cantidad de variables es lo suficientemente grande (n > 30) . X ~ N (µ, σ/√n) X - µ ≈ N (0,1) σ/√n σ /√n µ