MEDIDA DE LONGITUDES U. D. 8 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

LONGITUDES CON TRIGONOMETRÍA U. D. 8.4 * 4º ESO E. AP. LONGITUDES CON TRIGONOMETRÍA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Cálculo de longitudes con las razones trigonométricas En un triángulo rectángulo veíamos que, con independencia del valor de catetos e hipotenusa, se cumplían las llamadas razones trigonométricas. El valor de las razones trigonométricas sólo depende del ángulo. Así pues, si en un triángulo rectángulo nos dan el valor de alguno de los ángulos agudos, ya no es necesario conocer dos lados para hallar el tercero. Con un ángulo agudo y un lado, podemos deducir el valor de los otros dos lados. Si conocemos la hipotenusa, a, y el ángulo α: b = a·sen α ; c = a·cos α Si conocemos un cateto, por ejemplo c: a = c / cos α ; b = c / tag α Si conocemos el otro cateto, el b: a = b / sen α ; c = b / tag α Sen α = b / a Cos α = c / a Tag α = b / c a b α c @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problemas Ejemplo_1 Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo, que vale 80 cm, y el ángulo que forma la diagonal con la base, que es de 60º. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2  a2 = 82 + h2  Al conocer un ángulo agudo, podemos poner que: Tg α = h / 80  h = 80. tg 60º h=80.√3 = 80.1,732 = 138´56 cm h α=60º 80 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problemas Ejemplo_2 Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo que el ángulo que forma con el suelo es de 75º. ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. ¿Cuánto está separada de la pared? Por definición de seno de un ángulo: Sen 75º = h / 13 De donde h = 13. sen 75º = = 13.0,9659 = 12,5570 m Aplicando el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + h2  132 = b2 + 12,55702 169 = b2 + 157,6782 b2 = 169 – 157,6782 = 11,3218 b = √11,3218 = 3,3648 m hasta la pared 13 m h 75º b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problemas Ejemplo_3 Un romboide presenta una base que mide 12 cm, una altura de 8 cm y un ángulo agudo de 45º. Hallar el perímetro y el área del romboide. Por la definición del seno de un ángulo: Sen 45º = 8 / I De donde l = 8 / (√2/2) I = 11,3137 cm Siendo I el lado oblicuo. P=2b+2l = 2.12+2.11,3137 = 46,33 A = b.h = 12.8 = 96 cm2 l 8 cm l 45º 12 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problemas Resolución: l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] Ejemplo_4 Los lados de un rombo forman un ángulo obtuso de 120º y la diagonal mayor mide 30 cm. Hallar el perímetro. Resolución: En el triángulo rectángulo resaltado, en rojo, por el Teorema de Pitágoras: l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] Por definición de seno de un ángulo: Sen 120º/2 = (30 / 2) / I Donde I = 15 / sen 60º = 17,32 cm Luego P = 4.I = 4.17,32 = 69,28 cm l l D=30 cm d 120º l l @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problemas Ejemplo_5 b=5 Las bases de un trapecio isósceles miden 13 y 5 cm; y el ángulo agudo mide 60º. Hallar el perímetro y el Área. Resolución: (B – b) / 2 = (13 – 5)/2 = 4 cm, que es el cateto menor del triángulo rectángulo señalado en rojo. Por trigonometría: Tg 60º = h / 4  h = 4.tg 60º = = 6,9282 cm Por Pitágoras, el lado oblicuo será: l = √ (6,92822 + 42) = √ 64 = 8 cm b=5 l l h 60º B = 13 Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h El perímetro es P = B+b+ 2.l A = [(13+5)/2].6,9282 = 62,35 cm2 P = 13+5+2.8 = 18+16 = 34 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problemas Ejemplo_6 Un prisma rectangular tiene de base un rectángulo de 3 x 4 cm, y el ángulo que forma la diagonal de la base con la diagonal del prisma es de 75º. Hallar el volumen del prisma. La diagonal de la base: d= √(l2 + a2) = √(16 + 9) = √ 25 = 5 cm Por Trigonometría: Tag 75º = h / d 3,72 = h / 5  h = 3,72.5 = 18,60 cm Volumen: V = l.a.h = 3.4.18,60 = 223,20 cm3 D h 75º d 3 cm 4 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problemas Ejemplo_7 Una pirámide regular tiene de base un cuadrado de 4 cm de lado, y el ángulo que forma la base con la cara lateral es de 75º. Hallar el área y el volumen del prisma. La altura de la pirámide, h: Tg 75º = h / (l/2)  h = (4/2).3,732 = 7,46 cm Por Trigonometría: Cos 75º = 2 / Apo  Apo = 2/0,26 = 7,73 cm Area: A = l2 + p.Apo/2 = 4 + 62 = 66 cm2 V = l.a.h = 3.4.18,60 = 223,20 cm3 h h 75º 4 cm 4 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.