MEDIDA DE LONGITUDES U. D. 8 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRIGONOMETRÍA EN EL ESPACIO U. D. 8.4 * 4º ESO E. AP. TRIGONOMETRÍA EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Todo polígono se puede descomponer en triángulos. Si además estos triángulos son rectángulos podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para hallar distancias: a2 = b2 + c2 . Y además, gracias a la Trigonometría, no será necesario conocer dos lados para hallar el tercero si conocemos algún ángulo interior agudo. Sabemos que: sen C = c / a  c = a. sen C cos C = b / a  b = a. cos C tag C = c / b  c = b. tan C B Hipotenusa B c a A=90º C A b C Igualmente tenemos: sen B = b / a  b = a. sen B cos B = c / a  c = a. cos B tag B = b / c  b = c. tag B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ÁREA DEL TRIÁNGULO Si conocemos los tres lados, lo usual es emplear la fórmula: A = √ [ p.(p – a).(p – b).(p – c) ] Siendo p el semiperímetro: p = (a+b+c)/2 Pero en muchos casos no tenemos los valores de los tres lados. En otros casos tenemos el valor de dos lados, pero el triángulo no es rectángulo y no podemos aplicar Pitágoras. Veamos un triángulo cualquiera, no rectángulo, ABC. Se puede trazar la altura, h, desde el vértice opuesto a la base. Esta altura, h, siempre nos dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos. A A b c h B C B H a C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ÁREA DEL TRIÁNGULO h El área de un triángulo es A = a.h / 2 Trazada la altura h, tenemos: En el triángulo AHB podemos poner: h = c.sen B El área será: A = a·(c·sen B) / 2 A = a·c·sen B / 2 En el triángulo ACH podemos poner: h = b.sen C A = a·(b·sen C) / 2 A = a·b·sen C / 2 Si hubiéramos trazado otra altura distinta, h’, obtendríamos: A= b.c.sen A / 2 Que son las tres fórmulas utilizadas para hallar el área de un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo que forman. A A b c h B C B H a C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejercicios Hallar el área de los triángulos cuyos datos conocidos son: 1.- a=5, b=3, C=43’78º El área será: A= ½ a.b.sen C A= ½ 5.3.sen 43’78º = 5,19 cm2 2.- a=10, B=45º, c=11,15 El área será: A= ½ a.c.sen B A= ½ 10.11,15.sen 45º = 39,42 cm2 3.- a=5, b=3, C=100º A= ½ 5.3.sen 100º = 7,386 cm2 4.- A=38,21º, b=3, c=7 El área será: A= ½ b.c.sen A A= ½ 3.7.sen 38’21º = 6,4947 cm2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problema 1 Hallar el área total y el volumen de la figura conociendo los datos señalados. Resolución Desplegado queda: 23,96º 18,43º 18 cm Por Trigonometría: Tag 18,43º = b /a = b / 18 Luego b = 18.0,33323 = 6 cm También: Tag 23,96º = c /a = c / 18 Luego c = 18.0,44439 = 8 cm At = 2.a.b+2.a.c+2.b.c = = 2.18.6 + 2.18.8 + 2.6.8 = 600 cm2 V = a.b.c = 18.6.8 = 864 cm3 23,96º c b 18,43º a =18 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problema 2 En la pirámide de Keops, de base cuadrada, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una cara con la base es de 52º. Calcula: a) La altura de la pirámide. b) La altura de una cara. c) La longitud de una arista. d) El ángulo que forma la arista con la base del triángulo. e) El ángulo superior de cada cara. f) El volumen de la pirámide. h 52º 230 m CALCULADORA Si conocemos que sen α = 0,5 Para hallar α: Teclear 0,5, tecla Inversa y tecla Sen @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Resolución Resolución a) La altura de la pirámide. Por el triángulo rectángulo formado: Tag 52º = h / (230 / 2) De donde h = 115 · 1,28 = 147,19 m b) La altura de una cara. Hipotenusa del triángulo rectángulo formado o apotema de la pirámide: Cos 52º = (230 / 2) / Ap De donde Ap = 115 / · 0,616661= 186,79 m c) La longitud de una arista. Por el teorema de Pitágoras: a2 = Ap2 + (230/2)2 = 186,792 + 1152 a2 = 48115,86  a = 219,35 m Ap h a 52º 230 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

…Resolución …Resolución d) El ángulo que forma la arista con la base de la pirámide. Diagonal de la base d = l .√2 al ser un cuadrado d = 230 . 1,4142 = 325,27 m Distancia centro a pie de arista. D = d/2 = 325,27 / 2 = 162,63 m Tag X = h / D X = arc tag 147,19 / 162,63 = 42,15º e) El ángulo superior de cada cara. As = 90º – 52º = 38º f) El volumen de la pirámide. V = Sb.h / 3 = 2302 · 147,19 / 3 = 2595450,33 m3 h a xº D 230 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.