POLIEDROS

¿Qué es un poliedro? Llegar a la respuesta a través de la definición que conocen de polígono. -Polígono: Línea poligonal cerrada, con varios ángulos. Poli=muchos, gonos=ángulos. -Poliedro: Estructura tridimensional cerrada formada por varias caras (que a su vez son polígonos). Poli=muchos, edros=lados. Recalcar el hecho de que debe estar cerrado.

Como en Divermates nos gusta enseñar matemáticos para ponerles cara, aquí incluimos a Euler, ya que estudió en profundidad los poliedros. Se fue quedando ciego paulatinamente, cuando perdió la vista de un ojo le apodaron “el cíclope matemático”. En la guerra, el ejercito enemigo bombardeó su pueblo, y cuando el general enemigo se enteró que habían destruido la granja de Euler, ordenó al responsable que se disculpara y le dio dinero para reconstruirla. Leonhard Euler 1707 - 1783

Caras + Vértices = Aristas + 2 Teorema de Poliedros de Euler Estudiando los poliedros y sus propiedades, Euler llegó a formular el siguiente teorema, al que dio su nombre. Usar los poliedros que llevamos para mostrar la fórmula: -Las caras son los polígonos que ya conocen (triángulos y pentágonos). -Los vértices son las “cosas” verdes y naranjas. -Las aristas son las barras de madera. Caras + Vértices = Aristas + 2

CONSTRUIR POLIEDROS Recordar que los poliedros tienen sus caras formadas por polígonos, y que tienen que estar cerrados. Se reparte una bandeja de piezas por equipo: 2 mesas con pentágonos y triángulos y 3 mesas con cuadrados y triángulos (suele ser preferible que los pentágonos los tengan los de la mesa mas tranquila). Intentamos que construyan los poliedros regulares (tetraedro, cubo {Hexaedro}, octaedro, dodecaedro e icosaedro), sugiriéndoselo a modo de reto en caso de no tomar ellos la iniciativa. Finalmente se confirma si han hecho o no poliedros, colocando todos los que han construido en una mesa en el centro de la clase. Si vamos bien de tiempo, probar la fórmula de Euler con algún poliedro cualquiera no regular.

Caras: polígonos regulares iguales Vértices: mismo número de caras POLIEDROS REGULARES POLIEDROS REGULARES Caras: polígonos regulares iguales -Polígonos regulares: Todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. -Poliedros regulares: Todas las caras iguales y todos “los ángulos poliedros” iguales (llega el mismo número de caras a cada vértice). Primera criba: de los poliedros que han hecho, se descartan todos los que no tienen todas las caras iguales. Segunda criba: de los que han sobrevivido se descartan aquellos en los que no lleguen el mismo número de caras a todos los vértices. Aquí tenemos 5 poliedros regulares (si consiguieron hacerlos todos), ¿cuantos creéis que existen? Vamos a verlo… Vértices: mismo número de caras

Triángulo 3 4 5 6 Cuadrado 3 4 Pentágono 3 4 Hexágono 3 DEMOSTRACIÓN Tetraedro Octaedro Icosaedro Triángulo 3 4 5 6 Hexaedro Cuadrado 3 4 El polígono de menos caras que podemos coger es el triángulo: Como en todos los vértices tengo que tener las mismas caras, pongo tres (porque con dos no se puede obtener una figura tridimensional), y continuo completando con esa norma: tetraedro. Ahora juntamos cuatro caras por vértice y seguimos el patrón: octaedro. Probamos con cinco triángulos: icosaedro. Qué pasa con seis? Entre todos los ángulo del vértice suman 360 grados, por lo que se nos queda plano y por tanto no podemos hacer poliedros con ello. Es imposible juntar más de seis triángulos por vértice, pues si no podemos juntar seis, tampoco podemos juntar siete, ni ocho… Probamos con el siguiente polígono, el cuadrado: Tres por vértice: cubo o hexaedro. Cuatro por vértice, de nuevo nos da una figura plana. Es imposible juntar más de cuadro cuadrados por vértice. Seguimos con el pentágono: Tres por vértice: dodecaedro. No podemos usar mas de tres pentágonos por vértice, pues “no caben”. Si seguimos probando con hexágonos, al usar 3 el resultado es plano, por lo que no se pueden formar poliedros. Y por consiguiente, tampoco con heptágonos, octógonos… Dodecaedro Pentágono 3 4 Hexágono 3

Tetraedro Icosaedro Hexaedro Dodecaedro Octaedro Aquí los cinco poliedros regulares que existen.

RELACIONES RELACIONES 4 6 8 12 20 30 TETRAEDRO CUBO O HEXAEDRO CARAS VÉRTICES ARISTAS TETRAEDRO 4 6 CUBO O HEXAEDRO 8 12 OCTAEDRO DODECAEDRO 20 30 ICOSAEDRO Volvemos a aplicar la regla de Euler. Se ve claro con la tabla que la primera columna mas la segunda es la última mas dos. Notar que el cubo tiene tantas caras como vértices tiene el octaedro, y viceversa. Igual pasa con el octaedro y el dodecaedro. Por ello se dice que son duales, y eso nos permite colocar un vértice en el punto medio de cada cara, metiendo uno dentro de otro (enseñamos la muestra).

DUALES Esta no es la única manera en la que se pueden relacionar los poliedros regulares, ya que en realidad todos están relacionados de alguna manera (mostrar los modelos).

Bolas de piedra talladas del neolítico ORIGEN Nos fijamos en que estas bolas de piedra datadas de hace mas de 4000 años, ya simulan los poliedros. Bolas de piedra talladas del neolítico 2000 a. C. - Escocia

Platón: se obsesionó de alguna manera con los poliedros, defendiendo que todo en la naturaleza estaba basado en ellos, y asociando cada uno a un elemento. De hecho, los cinco poliedros regulares se denominan también sólidos platónicos. Platón 427 a. C. – 347 a. C.

SIMBOLOGÍA Tetraedro: Fuego. Cubo: Tierra. Icosaedro: Agua. Octaedro: Aire. Dodecaedro: Cosmos, el universo, porque es el que mejor podía circunscribir a todos los demás.

DÓNDE HAY POLIEDROS? ¿Dónde hay poliedros?

Dados

El diamante y el grafito tienen la misma composición química, pero se diferencian en cómo tienen colocados los átomos. (si no saben lo que es un átomo, explicar que si dividimos algo en cachitos cada vez más pequeños llegamos a tener un átomo). Ambos tienen átomos de carbón, pero lo que los diferencia es que el diamante se ha formado durante miles de años a altas presiones teniendo tiempo así de colocarse los átomos en forma poliédrica. Diamante y grafito

Sulfato de aluminio y cromo Muchos minerales salen de la tierra en forma poliédrica. Se les muestran los minerales y los asociamos a los modelos. Ver Anexo I_Minerales Sulfato de aluminio y cromo

Pirita

Pirita

Geoda de Pulpi - Almería Se ve aquí las dimensiones que tienen algunos minerales en las minas, en comparación con el minero. Geoda de Pulpi - Almería

En esta imagen se ven aún mas grandes. Mina de Naica – Méjico

Un virus con forma de icosaedro. Adenovirus

Polen (Stellaria Holostea) El polen, con forma de dodecaedro. Polen (Stellaria Holostea)

Forma de vida microscópica, que cuando mueren dejan su esqueleto. Radiolarios

CONSTRUCCIÓN CONSTRUYAMOS NUESTRO OCTAEDRO

Intentamos aquí que recuerden que poliedro es este.

Para facilitar la construcción: Formar el cuadrado del medio. Poner el cuadrado sobre la mesa y pinchar un palillo en cada gominola. Terminar esos cuatro palillos en una nueva gominola de forma que tenemos una pirámide. Construir de igual forma el lado opuesto.

Dos preguntas: Habéis aprendido algo??? Os lo habéis pasado bien???  Aplauso!