FUNCIONES ELEMENTALES I

CONTENIDOS MÍNIMOS Las funciones reales de variable real. Gráfica y tabla de una función. Descripción con la terminología adecuada de funciones dadas mediante sus gráficas: dominio, signo, cortes con los ejes, simetrías, periodicidad, tendencias, crecimiento, decrecimiento y extremos. Utilización de tablas y gráficas funcionales para la interpretación de fenómenos sociales. Obtención de valores desconocidos en funciones dadas por su tabla: interpolación y extrapolación lineal. Problemas de aplicación. Características de las funciones polinómicas, raíz, exponencial, logarítmica, valor absoluto, parte entera y racionales sencillas, obtenidas a partir de la expresión analítica que las define. Las funciones definidas a trozos. Utilización de las funciones como herramienta para la resolución de problemas relacionados con las ciencias sociales: financieros, de población, etc., y para la interpretación de fenómenos sociales y económicos.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y Recuerda que una función puede venir expresada como un enunciado: “gano 3€/hora”, una expresión algebraica: “y = 3x”, una tabla de valores o una gráfica.

TIPOS DE FUNCIONES Funciones polinómicas Funciones racionales Funciones radicales Funciones definidas a trozos Función valor absoluto Función parte entera

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN Hacer el estudio de una función consiste en analizar sus características

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN DOMINIO a partir de su expresión algebraica: Polinómica: Estas expresiones están definidas para todos los números reales: Domf = R. Racional: Un cociente no está definido cuando el denominador es 0 Irracional: Las raíces de índice par solo están definidas para radicandos positivos. Logaritmos: solo están definidos para números reales positivos. Razones trigonométricas de seno y coseno: siempre están definidas. La tangente: no está definida cuando el coseno es cero. Además debes tener en cuenta: El contesto real del que se ha extraído la función (ejemplo: el área de un terreno) Dónde ha sido definida la función (ejemplo: la recta y = 3x – 8 definida en el intervalo x e (-1, 5] es un segmento rectilíneo)

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función afín Estudio Su gráfica es una línea recta: m = pendiente n = ordenada en el origen ( si n = 0 la recta pasa por el origen de coordenadas y se llama función lineal o de proporcionalidad directa) Dominio: R Recorrido: R si m no es 0 / n si m = 0 Monotonía: Si m > 0 la recta es creciente Si m < 0 la recta es decreciente Si m = 0 la recta es constante

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función afín Pendiente: aumento o disminución que se produce en la y cuando x aumenta una unidad Ecuación punto pendiente: Gráfica: es suficiente con pintar dos puntos siendo uno de ellos la ordenada en el origen

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función afín Ejemplo: el beneficio de una empresa es la diferencia entre las ventas y los costos. BENEFICIO = VENTAS - COSTOS - VENTAS: Es el producto de la cantidad vendida por el valor de cada unidad. VENTAS = PRECIO x CANTIDAD - COSTOS: Es la suma del costo fijo (alquiler del local) y del costo variable. COSTOS = COSTO FIJO + COSTO MARGINAL x CANTIDAD. (El costo marginal es el costo de cada unidad extra que se fabrica) ¿Cuál sería el ingreso o beneficio para 300 unidades? BENEFICIO = PRECIO X CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL X CANTIDAD ) Beneficio: 25 x cantidad – (1200 + 15 x cantidad)

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función afín Interpolación lineal: Si de una función conocemos solamente dos de sus puntos, es claro que nada o casi nada podremos decir de su comportamiento en otros puntos. Sin embargo, si pudiéramos suponer que entre esos dos puntos la función es lineal, podríamos hallar exacta o aproximadamente sus valores en puntos intermedios valiéndonos de la ecuación de una recta. Supongamos que la función que pasa por los puntos A(x0, x1), B(y0, y1) es lineal en el intervalo [x0, x1], entonces podemos hallar su valor para cualquier abscisa, x, de este intervalo:

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función afín Extrapolación lineal: x es exterior al intervalo [x0, x1]. En la extrapolación, cuanto mas alejado esté x del intervalo, menos fiable es el valor que obtenemos para f(x). Ejemplo: si colgamos de un muelle una pesa de 40g, se estira hasta 12mm. Y si colgamos una pesa de 60g, se estira has 20mm. ¿Cuál sería su longitud si colgáramos una pesa de 55g? ¿Cuál sería su longitud si colgáramos una pesa de 100g? (resultado razonable) ¿Y si la pesa fuera de 5kg? (el muelle se deforma o se rompe. Es un disparate)

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función cuadrática Estudio Su gráfica es una parábola con vértice el punto: eje de simetría la recta: Dominio: R Simetría: si b = 0 es par Si a > 0 la parábola es convexa y el vértice es un mínimo. Si a < 0 la parábola es cóncava y el vértice es un máximo Puntos de corte con los ejes: Corta al eje X en dos puntos, uno o ninguno, según el número de raíces reales de ax2 + bx + c = 0, y corta al eje Y en el punto (0, c)

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función cuadrática Traslación vertical y = ax2 + c La parábola y = ax2 + c es una traslación vertical de c unidades de la parábola y = ax2 -Si c > 0, la traslación es hacia arriba. -Si c < 0, la traslación es hacia abajo. Traslación horizontal y = a(x – p)2 La parábola y = a(x – p)2 es una traslación horizontal de p unidades de la parábola y = ax2 - El eje de simetría es la recta x = p - El vértice es el punto V(p, 0) Traslación horizontal y vertical y = a(x – p)2 + k La parábola y = a(x – p)2 + k es una traslación horizontal de p unidades de la parábola y = ax2 y una traslación vertical de k unidades, o viceversa. - El vértice es el punto V(p, k)

Traslación vertical Traslación vertical

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función cuadrática Hallar la ecuación dada una gráfica: a) El coeficiente a es el valor que aumenta o disminuye la ordenada y cuando la abscisa x aumenta una unidad desde el vértice. b) El coeficiente b se halla despejándolo en la fórmula del eje de simetría: c) El coeficiente c es la ordenada del punto donde la parábola corta al eje Y

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función cuadrática Un uso común en los negocios es maximizar las ganancias, es decir, la diferencia entre los ingresos (dinero que entra) y los costos de producción (dinero gastado). Ejemplo: supongamos que las ganancias de una empresa vienen dadas a partir de la siguiente ecuación: P = -20s2 + 1400s – 12000

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función de grado >2 Estudio Dominio y recorrido: R Es continua en todo el dominio. Su gráfica es una curva con un máximo de n-1 extremos relativos.

ax3

ax3

Grado 4 Grado 5

B. FUNCIONES RACIONALES Función de proporcionalidad inversa Estudio Su gráfica es una hipérbola con asíntotas en los ejes de coordenadas. Dominio: Ramas: Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer y el tercer cuadrantes. Es decreciente en todo su dominio. Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el segundo y cuarto cuadrantes. Es creciente en todo su dominio. Simetría: impar, respecto del origen de coordenadas

B. FUNCIONES RACIONALES Función de proporcionalidad inversa En la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, k es el área del rectángulo cuyos vértices opuestos son un punto cualquiera P(x, y) de la hipérbola y el punto de corte de las asíntotas. La constante k es positiva si la hipérbola es decreciente, y es negativa si la hipérbola es creciente.

B. FUNCIONES RACIONALES Hipérbolas trasladadas La hipérbola se traslada según los parámetros a y b: Traslación horizontal de a unidades. La asíntota vertical es la recta y = a. Traslación vertical de b unidades. La asíntota horizontal es la recta x = b.

B. FUNCIONES RACIONALES

B. FUNCIONES RACIONALES Estudio Dominio: Asíntotas: en los ejes coordenados. Ramas: Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer y el segundo cuadrantes. Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el tercer y el cuarto cuadrantes. Simetría: Par, respecto del eje OY.

FUNCIONES RACIONALES General Estudio Dominio todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador, es decir, Q(x)=0. En esos puntos puede tener asíntotas verticales u oblicuas. Asíntotas: Puede presentar una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual al del denominador. También tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es uno más que el del denominador. Las posibles asíntotas verticales provienen de las raíces del denominador. Para un mejor estudio de las asíntotas es necesario el conocimiento de límites de funciones.

FUNCIONES RADICALES (funciones irracionales) Estudio Dominio: Si n es par: el intervalo en el que Si n es impar: Monotonía: Creciente en todo su dominio (Para que sea función consideramos solo uno de los resultados, el positivo o el negativo) El periodo de un péndulo T (tiempo de una oscilación) en función de su longitud l: T =

n par

n impar

RESUMEN TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES Representación de y = f(x) + k, y = f(x) – k es una traslación de f(x) hacia arriba o hacia abajo respectivamente. Representación de y = -f(x) es la simétrica de f(x) respecto del eje X. Representación de y = f(x + k), y = f(x + k) es una traslación a unidades hacia la derecha o hacia la izquierda. Representación y = f(-x) es la simétrica de f(x) respecto del eje Y.

E. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Definición: “Una función definida a trozos es aquella cuyo dominio está dividido en intervalos disjuntos, de forma que en cada intervalo la función viene dada por expresiones matemáticas distintas”. Para dibujar las funciones a trozos tendremos que representar cada una de las partes de las que está compuesta teniendo en cuenta, además, que solo tienen validez en el intervalo en el que están definidas.

Ejemplo 1:

TRAMO I

TRAMO II

TRAMO III

Ejemplo 2:

TRAMO I

TRAMO II

TRAMO III

H. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Se denomina así la función que a cada número real hace corresponder su valor absoluto. Se puede expresar también como una función definida a trozos Estudio Recorrido: Puesto que el valor absoluto de un número es siempre positivo el recorrido de una función con valor absoluto estará incluido en los .

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO De un polinomio A trozos: Para establecer los intervalos en los que P(x) tiene signo negativo hay que resolver la ecuación P(x)=0 y estudiar el signo de P en cada uno de los intervalos en los que queda dividida la recta real. Para dibujar su gráfica, se dibuja normalmente y después se hace la simetría respecto del eje horizontal en aquellos tramos en los que la función sea negativa.

Ejemplo Para expresar la función a trozos se buscan las raíces del polinomio P. Se estudia el signo de P en cada intervalo de la recta real.

La gráfica sería:

G. FUNCIÓN PARTE ENTERA Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x], que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que él. Se puede expresar también como una función definida a trozos

f(x)=E[x]

FUNCIÓN PARTE DECIMAL La parte decimal o mantisa de un número x es Mant(x) = x – Ent(x) A partir de esto, definimos la función decimal de x, Mant(x), que hace corresponder a cada número x su parte decimal.