EJERCICIOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Construcciones Elementales
Ejercicio Nº 1. - Construir una escala gráfica 1º Ejercicio Nº 1.- Construir una escala gráfica 1º.- Trazamos un triángulo rectángulo de catetos 10 cm. .
2º.- Se dividen los catetos en diez partes iguales por lo que la escala natural se encuentra dividida en cm.
3º.- Unimos el vértice vertical O con las divisiones del cateto horizontal.
4º.- Por las divisiones del cateto vertical trazamos paralelas al cateto horizontal. 5º.- Estos segmentos representan las escalas como vemos.
6º.- Si deseamos obtener otra escala cualquiera por ejemplo 3:4 realizamos la siguiente operación 3/4=x/10 de donde x=3x10/3=7.5. Se toma sobre el cateto vertical 75 mm y esa es la escala buscada. partes iguales, cada una de estas partes será 1 mm.
7º.- Se determina la contraescala tomando un segmento AB igual a una división de la escala y se divide en diez partes iguales, cada una de estas partes será 1 mm.
Se traza un triángulo equilátero el procedimiento es el mismo. 1º Se traza un triángulo equilátero el procedimiento es el mismo. 1º.- Trazamos un triángulo equilátero de 10 cm de lado 2º.- Se dividen los lados en diez partes iguales por lo que la escala natural se encuentra dividida en cm.
Ejercicio Nº 2. - Construir una escala gráfica. Escala 2:3 1 Ejercicio Nº 2.- Construir una escala gráfica. Escala 2:3 1.-Trazamos una recta y sobre esta llevamos las divisiones 1, 2,..dm 2.- Cada división mide 2/3 x 100 = 66,66 mm.
3.- De divide la contraescala en diez partes iguales, cada división vale 1 cm.
Escala 1:200 1.-Trazamos una recta y sobre esta llevamos las divisiones 1, 2,..Dm 2.- Cada división mide 1/200 x 10.000 =50 mm.
3.- De divide la contraescala en diez partes iguales, cada división vale 1 m.
Ejercicio Nº 3. - Construir una escala gráfica decimal transversal Ejercicio Nº 3.- Construir una escala gráfica decimal transversal. Escala 2:3 1.- Construimos la escala grafica correspondiente.
2.- Trazamos 10 paralelas a la escala a una distancia arbitraria pero iguales
3.- Por los puntos de la contraescala trazamos perpendiculares a la escala.
4º.- Se numeran y se unen la división 1 de la paralela superior con la 0 de la inferior la 2 superior con la 1 inferior y así sucesivamente, formando triángulos rectángulos cuyas bases van aumentando una décima de la unidad de la contraescala.
5.- Para tomar una medición se procede de la forma siguiente para medir 173 mm, tomamos la división 7 de la contraescala y subiendo 3 décimas hasta la horizontal numero 3. Para tomar 1,48dm=14,8cm=148 mm, tomamos la división 4 de la contraescala y subiendo 8 décimas hasta la horizontal numero 8.
Ejercicio Nº 4. - Dados dos segmentos a=40 mm y b= 30 mm Ejercicio Nº 4.- Dados dos segmentos a=40 mm y b= 30 mm. Hallar gráficamente la media proporcional.
1º.-Trazamos una recta y sobre esta llevamos los segmentos a y b uno a continuación de otro.
2º.- Determinamos la mediatriz del segmento a+b. Punto medio O.
3º.- Con centro en O trazamos una semicircunferencia de diámetro a+b.
4º.- Por la unión de a y b punto 1 trazamos una perpendicular el segmento x es media proporcional de a y b.
Ejercicio Nº 4. - Dados dos segmentos a=40 mm y b= 30 mm Ejercicio Nº 4.- Dados dos segmentos a=40 mm y b= 30 mm. Hallar gráficamente la media proporcional. 2º Método
1º.-Trazamos una recta y sobre esta llevamos el segmento a.
2º.- Determinamos el Punto medio O del segmento a.
3º.- Con centro en O trazamos una semicircunferencia de diámetro a.
4º.- Llevamos sobre el segmento a el segmento b Por el punto 1 extremo del segmento b trazamos una perpendicular el segmento x es media proporcional de a y b.
Ejercicio Nº 5.- Dado un segmento AB=50 mm, construir gráficamente el segmento áureo del mismo.
1º.- Trazamos un segmento AB = 50 mm.
2º.- Por el extremo B trazamos una perpendicular.
3º.- Hallamos el punto O; BO=a/2=25 mm.
4º.- Trazamos con centro en O una circunferencia de diámetro a.
5º.- Unimos O con A.
6º.- El segmento AC= x es el segmento áureo del segmento dado a.
Ejercicio Nº 6.- Hallar el segmento cuarto proporcional de los tres dados a=70 mm y b= 40 mm y c= 50 mm.
1º.-Trazamos una recta r y sobre ella a partir del punto O llevamos el segmento a =70 mm.
2º.-Trazamos otra recta s concurrente con la primera r en el punto O y sobre ella llevamos el segmento c =50 mm.
3.- Unimos el extremo A con el extremo B.
4.- Sobre la recta r s a partir del punto O llevamos el segmento b=40 mm.
5º.- Por el extremo C trazamos una paralela a la recta AB que corta a la recta s en el punto D el segmento OD es la cuarta proporcional X buscada.
Ejercicio Nº 7.- Dado un segmento a=40 mm, hallar gráficamente el cuadrado de a.
1º.- Trazamos un segmento AB =a = 40 mm.
2º.- Por el extremo A trazamos una recta r con un ángulo cualquiera.
3º.- Sobre el segmento a llevamos la unidad 1cm=10mm= AC.
4º.- Sobre la recta r llevamos el segmento a= AD=40 mm.
5.- Unimos C con D
6.- Por el extremo B trazamos una paralela a la recta CD que nos determina el punto E. El segmento AE es el cuadrado de a. AE=160mm=16cm= a² =4²
Ejercicio Nº 8.- Dada la figura plana ABCDEF se pide hallar la figura congruente de la misma. Dos figuras son congruentes cuando son iguales. Para construir dos figuras iguales tenemos varios procedimientos; Triangulación, Coordenadas, por copia de ángulos, translación y por cuadrícula
Vamos hacerlo por triangulación, para ello descomponemos la figura en triángulos como se ve en la fig.
1º.- Trazamos un segmento A'B' paralelo e igual al AB.
2º.- Construimos el triángulo A'B'C' igual al ABC.
3º.- Construimos el triángulo A'C'D' igual al ACD.
4º.- Construimos el triángulo A'D'E' igual al ADE.
5º.- Construimos el triángulo A'E'F' igual al AEF.
6º.- Tenemos la fig congruente de la primera
Ejercicio Nº 9.- Dado el polígono ABCDEF hallar el cuadrado equivalente.
1º. - Para eliminar un vértice se procede de la forma siguiente 1º.- Para eliminar un vértice se procede de la forma siguiente. Unimos los vértices anterior y posterior al vértice a eliminar C, vértices B y D, por el vértice C trazamos una paralela a la recta BD que corta a la prolongación del lado AB en el punto 1. Unimos el vértice D con el punto 1 y tenemos un polígono con un lado menos y equivalente al anterior.
2º. - Repetimos el procedimiento con el vértice F 2º.- Repetimos el procedimiento con el vértice F. Para eliminar un vértice se procede de la forma siguiente. Unimos los vértices anterior y posterior al vértice a eliminar F, vértices A y E, por el vértice F trazamos una paralela a la recta AE que corta a la prolongación del lado AB en el punto 2. Unimos el vértice E con el punto 2 y tenemos un polígono con un lado menos y equivalente al anterior.
3º. - Repetimos el procedimiento con el vértice E 3º.- Repetimos el procedimiento con el vértice E. Para eliminar un vértice se procede de la forma siguiente. Unimos los vértices anterior y posterior al vértice a eliminar E, vértices A y D, por el vértice E trazamos una paralela a la recta AD que corta a la prolongación del lado AB en el punto 3. Unimos el vértice D con el punto 3 y tenemos un polígono con un lado menos y equivalente al anterior. En este caso un triángulo
4.- Tenemos un triángulo 1D3 de altura h y base b.
5.- A continuación de la altura h llevamos la mitad de la base obteniendo el segmento D4, hallamos el punto medio O.
6.- Trazamos una semicircunferencia de diámetro D4 y centro en O que corta a la perpendicular que trazamos por la unión de h y b/2 en el punto 5 que es el lado del cuadrado equivalente al triangulo y al polígono inicial.
Ejercicio Nº 10.- Hallar la trayectoria que tiene que seguir una bola de billar para que partiendo de la posición A golpee a otra situada en B, después de haber tocado dos bandas.
1º.- Hallamos el punto A' simétrico de A respecto de la 1º banda que queremos que toque.
2º.- Hallamos el punto A'' simétrico de A' respecto de la 2º banda que queremos que toque.
3º.- Unimos A'' con B que corta a la banda en el punto 1.
4º.- Unimos A' con 1 que corta a la banda en el punto 2.
5º.- Unimos A con 2.
6º.- La trayectoria resulta A-2-1-B.
Ejercicio Nº 11.- Determinar el punto inverso de un punto dado B en la inversión definida por el centro y un par de puntos inversos.
Como los puntos se encuentran en línea recta no podemos trazar una circunferencia que pase por los tres puntos dados, por lo cual hacemos lo siguiente: 1º.- Trazamos una circunferencia cualquiera que pase por A y A' de centro O1.
2º.- Trazamos una recta cualquiera que pase por O centro de inversión y corte a la circunferencia anterior punto C y C'. Estos puntos tienen las mismas propiedades de inversión que los puntos B y B'.
3º. - Trazamos una circunferencia que pase por C-C' y B 3º.- Trazamos una circunferencia que pase por C-C' y B. Para lo que hallamos la mediatriz de C-C' y la mediatriz de B-C' que se cortan en el punto O2 centro de dicha circunferencia.
4º.- Con centro en O2 trazamos la circunferencia que pase por C-C' y B que corta a la recta en el punto B' que resulta el inverso de B.
Ejercicio Nº 12.- Hallar la circunferencia de autoinversión.
Los puntos de la circunferencia son puntos dobles y tienen que estar todos a la misma distancia de punto O centro de inversión. OP *OP' = K Potencia de inversión Por lo que tenemos que hallar √K, que resulta la media proporcional de OP y OP'. 1º.- Hallamos el punto medio de OP punto 1
2º.- Trazamos una semicircunferencia de centro 1 y radio 1-O=1-P.
3º.- Por P' trazamos una perpendicular a la recta OP que corta a la semicircunferencia en el punto 2 la distancia P'-2 es la media proporcional buscada P'-2= √K
4º.- Con centro en O y radio √K trazamos una circunferencia que resulta la circunferencia de autoinversión.
Ejercicio Nº 13.- Dada la circunferencia de puntos dobles, hallar los puntos inversos de A y B.
Punto A 1º.- Unimos el punto A con el centro de inversión O.
Punto A 2º.- Trazamos desde el punto A la tangente a la circunferencia de autoinversión c.p.d. Determinando el punto de tangencia 1.
Punto A 3º.- Desde el punto de tangencia 1 trazamos una perpendicular a la recta OA, que nos determina el punto A' inverso del punto dado A.
Punto B 1º.- Unimos el punto B con el centro de inversión O.
Punto B 2º.- Desde el punto B trazamos una perpendicular a la recta OB, que nos determina el punto 2.
Punto B 3º.- Trazamos desde el punto 2 la tangente a la circunferencia de autoinversión c.p.d. Determinando el punto B' inverso del punto dado B.
Ejercicio Nº 14.- Dados el centro de inversión O y una pareja de puntos inversos A-A'. Hallar el punto inverso de otro dado B y la circunferencia de autoinversión.
El punto B' tiene que estar en la circunferencia que pasa por A-A' y B y en la línea recta que une B con O. 1º.- Hallamos la mediatriz de A-A' y la mediatriz de A-B que se cortan en el punto C, centro de la circunferencia buscada. Trazamos la circunferencia de centro C y que pase por A-A' y B.
2º.- Unimos B con el centro de inversión O que nos determina el punto buscado B'.
3º.- Trazamos la tangente desde O a la circunferencia anterior que nos determina el punto 1 con centro en O y radio O-1 trazamos una circunferencia que resulta la circunferencia de autoinversión.
Ejercicio Nº 15.- Hallar el eje radical de dos circunferencias dadas.
1º.- Trazamos una circunferencia c2 de centro y radio cualquiera que corte a las otras dos.
2º.- Hallamos el eje radical e1 de la circunferencia c y c2.
3º.- Hallamos el eje radical e2 de la circunferencia c1 y c2.
4º.- Los ejes e1 y e2 se cortan en el punto CR que es el centro radical de las tres circunferencias y por el que pasan los ejes radicales de las tres circunferencias.
5º.- Por CR trazamos una perpendicular a la recta que une los centros O y O1. Los ejes radicales de dos circunferencias son perpendiculares a la recta que une los centros de ambas.
Ejercicio Nº 16. - Dadas tres circunferencias Ejercicio Nº 16.- Dadas tres circunferencias. Calcular gráficamente el centro radical de las mismas.
1º.- Hallamos el eje radical e1 de las circunferencias c y c1.
2º. - Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c y c2 2º.- Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c y c2. Mediante los ejes radicales auxiliares e'1 y e'2. Trazamos la circunferencia auxiliar c3 de centro un punto cualquiera O3 y radio también cualquiera, de forma que corte a las otras dos circunferencias c y c2.
3º.- Hallamos los ejes auxiliares e'1 y e'2.
4º.- Por donde se cortan los ejes auxiliares e'1 y e'2 punto CR1 trazamos una perpendicular a la recta que une los centros O y O2 que es el eje e2.
5º.- El punto CR donde se cortan el eje e1 y el eje e2, resulta el centro radical CR de las tres circunferencias dadas.
Ejercicio Nº 17.- Hallar el eje radical de las dos circunferencias secantes.
1º.- Unimos los puntos de corte de las dos circunferencias y obtenemos el eje radical.
2º.- El eje radical es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias dadas.
Ejercicio Nº 18.- Hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores.
1º.- Trazamos una circunferencia c3 de centro y radio cualquiera que corte a las otras dos.
2º.- Hallamos el eje radical auxiliar e1.
3º. - Hallamos el eje radical auxiliar e2 3º.- Hallamos el eje radical auxiliar e2. Este se corta con el eje e1 en el punto CR centro radical de las tres circunferencias y por el cual tienen que pasar los tres ejes.
4º.- Por CR trazamos una perpendicular a la recta que une los centros O1 y O2 y obtenemos el eje radical de la circunferencias c1 y c2.
Ejercicio Nº 19.- Hallar el eje radical de la circunferencia c1 y el punto P. Un punto puede se puede tomar como una circunferencia de radio 0. Siendo un caso limite de circunferencia. 1º.- Se toma el punto P como una circunferencia y estamos en el caso de dos circunferencias exteriores (en nuestro caso).
2º.- Trazamos una circunferencia de centro O2 y radio cualquiera con la condición de que corte a la circunferencia dada y pase por el punto P.
3º. - Hallamos el eje radical e'1 de las circunferencias c1 y c2 3º.- Hallamos el eje radical e'1 de las circunferencias c1 y c2. El eje radical vemos que es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias O y O2 y pasa por el punto de corte de ambas.
4º.- Hallamos el eje radical e'2 de la circunferencias c2 y el punto P. Como el punto Pse toma como una circunferencia de radio 0, los puntos de corte con la c2 serán los puntos dobles M y N que coinciden con el P y como el eje es perpendicular a la recta que une los centros O2 y P, por P trazamos una perpendicular a la recta P-O2.Y obtenemos el eje auxiliar e'2.
5º.- Por donde se cortan los ejes auxiliares e'1 y e'2 punto CR trazamos una perpendicular a la recta que une el centro O y el punto P que resulta el eje radical de la circunferencia y el punto P.
Nº 20.- Hallar el centro radical de dos circunferencias y una recta dada. El eje radical de una circunferencia y una recta es siempre la propia recta.
1º.- El eje radical de la circunferencia O1 y la recta r es la propia recta r =e2.
3º.- El eje radical de las circunferencias O1 y O2 es la recta e1.
4º.- El centro radical de las dos circunferencias O1 y O2 y la recta r es el punto CR punto de corte de e1, e2 y e3.
Ejercicio Nº 21.- Hallar el triángulo autopolar de la circunferencia dada correspondiente al punto dado P y con un lado sobre la recta r
1º.- Por los punto de intersección de la recta r con la circunferencia c, T1 y T2 trazamos las tangentes a la circunferencia que se cortan en el punto M, vértice del triángulo autopolar. Las tangentes son perpendiculares a los radios OT1 y OT2
2º.- Unimos el punto M con el punto P y obtenemos la recta t, que corta a la circunferencia en los puntos T3 y T4.
3º.- Por los puntos T3 y T4, trazamos las tangentes a la circunferencia que se cortan en el punto N de la recta r que resulta el polo de la recta t y tercer vértice del triángulo autopolar.
4º.- Unimos los puntos M, P y N y obtenemos el triángulo autopolar.
Ejercicio Nº 22. - Dadas tres circunferencias Ejercicio Nº 22.- Dadas tres circunferencias. Calcular gráficamente el centro radical de las mismas. Dibujar las circunferencias idénticas a la c1, que pasen por CR y sean tangentes a c3.
1º.- Hallamos el eje radical e1 de las circunferencias c1 y c3.
2º. - Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c1 y c2. 2. 1 2º.- Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c1 y c2. 2.1.- Mediante los ejes radicales auxiliares e'1 y e'2. Trazando la circunferencia auxiliar c4 de centro un punto cualquiera O4 y radio también cualquiera de forma que corte a las otras dos circunferencias c1 y c2.
2º. - Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c1 y c2. 2. 2 2º.- Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c1 y c2. 2.2.- Mediante los ejes radicales auxiliares e'1 y e'2. Que se cortan en el punto CR1
2º. - Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c1 y c2. 2. 3 2º.- Hallamos el eje radical e2 de las circunferencias c1 y c2. 2.3.- Mediante los ejes radicales auxiliares e'1 y e'2. Por el punto CR1 donde se cortan los ejes auxiliares e'1 y e'2, trazamos una perpendicular a la recta que une los centros O1 y O2 que corta al eje e1 en el punto CR, que resulta el centro radical de las tres circunferencias dadas.
3º. - Con centro en CR trazamos una circunferencia de radio r1 3º.- Con centro en CR trazamos una circunferencia de radio r1. Los centros de las circunferencias que pasan por CR se encuentran en una circunferencia de centro CR y radio r1.
4º. - Con centro en O3 trazamos una circunferencia de radio r1 + r3 4º.- Con centro en O3 trazamos una circunferencia de radio r1 + r3. Que corta a la circunferencia anterior en los puntos O y O' centros de las circunferencias tangentes a c3 y de radio r1. Los centros de las circunferencias tangentes a otra se encuentran en otra circunferencia del mismo centro y radio la suma de los radios.
4º.- Con centro en los puntos O y O' trazamos dos circunferencias de radio r1, que pasan por CR y son tangentes a c3.
Ejercicio Nº 23. - Dadas dos circunferencias y un punto P Ejercicio Nº 23.- Dadas dos circunferencias y un punto P. Hallar el centro radical de las dos circunferencias y el punto.
1º. - Hallamos el eje radical e1 de la circunferencia c1 y el punto P 1º.- Hallamos el eje radical e1 de la circunferencia c1 y el punto P. Mediante la circunferencia auxiliar de centro O3
1º. - Hallamos el eje radical e1 de la circunferencia c1 y el punto P 1º.- Hallamos el eje radical e1 de la circunferencia c1 y el punto P. Mediante la circunferencia auxiliar de centro O3 1.1.- Hallamos el eje radical e'1 de las circunferencias c1 y c3.
1.2.- Hallamos el eje radical e'2 de la circunferencias c3 y el punto P. Que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta O3-P.
1. 3. - Los ejes e’1 y e’2, se cortan en el punto N 1.3.- Los ejes e’1 y e’2, se cortan en el punto N. Por N trazamos la perpendicular a la recta P-O1 que resulta el eje radical e1 de la circunferencia O1 y el punto P.
2º. - Hallamos el eje radical e2 de la circunferencia c2 y el punto P 2º.- Hallamos el eje radical e2 de la circunferencia c2 y el punto P. Mediante la circunferencia auxiliar de centro O4
2.1.- Hallamos el eje radical e'3 de las circunferencias c2 y c4.
2.2.- Hallamos el eje radical e'4 de la circunferencias c4 y el punto P. Que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta O4-P.
2. 3. - Los ejes e’3 y e‘4, se cortan en el punto M 2.3.- Los ejes e’3 y e‘4, se cortan en el punto M. Por M trazamos la perpendicular a la recta P-O2 que resulta el eje radical e2 de la circunferencia c2 y el punto P.
3º.- Donde se cortan el eje radical e1 y el e2 es el centro radical CR.