INFERENCIA ESTADÍSTICA U.D. 14 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN U.D. 14.5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALO DE CONFIANZA Se desea estimar la proporción de elementos, p, que posee una cierta característica. Para ello se recurre a una muestra de tamaño n, en la que se obtiene una proporción muestral pr. El error máximo admisible sabemos que era: E = zα/2 .√p.q/n En caso de proporciones debemos asegurarnos que p.n > 5 y q.n > 5 para que realmente exista una distribución normal. Y además es necesario que la muestra sea grande n > 30. Cumpliendo las dos premisas anteriores, el error máximo admisible o cota de error para la estimación de p es: E = zα/2 .√pr.(1 – pr)/n El intervalo de confianza de p con un nivel de confianza (1 – α).100% es: (pr – zα/2 .√[pr.(1 – pr)/n] , pr + zα/2 .√[pr.(1 – pr)/n] ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_1 Se toma una muestra de 500 adultos. De ellos, 200 leen habitualmente el periódico. Hallar, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo para estimar la proporción p de lectores adultos. Resolución: Una probabilidad o nivel de confianza del 95% significa: 1 – α = 0,95  α/2 = 0,025  zα/2 = 1,96 La proporción muestral es: pr = 200/500 = 0,40 Tenemos n=500 y pr=0,40  Hallamos 1 – pr = 0,60 El error máximo admisible o cota de error para la estimación de p es: E = zα/2 .√pr.(1 – pr)/n = 1,96. √0,40.0,60/500 = 1,96.0,0219 = 0,04294 El intervalo pedido es: ( pr – E , pr + E)= (0,40 – 0,04294, 0,40 + 0,04294) = (0’3570 , 0’4429) Con un nivel de confianza del 95%, la proporción de lectores adultos de toda la población oscila entre el 35,70% y el 44,29 % @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_2 Se toma una muestra de 500 adultos. De ellos, 200 leen habitualmente el periódico. Con un nivel de confianza del 95%, el intervalo donde se encuentra la proporción p de lectores adultos es (0’3570 , 0’4429). La cota de error ha sido de 0,04294. Queremos repetir la experiencia para conseguir una cota de error de 0,02 con el mismo nivel de confianza. ¿Qué tamaño debe tener la muestra?. Resolución: Conocemos zα/2 = 1,96 y E = 0,02 El error máximo admisible o cota de error para la estimación de p es: E = zα/2 .√pr.(1 – pr)/n Tomamos como pr el valor de pr de la muestra anterior, pues no podemos saber su valor sin estudiar la muestra; pero si sabemos que estará muy próximo al valor anterior. 0,02 = 1,96. √0,40.0,60/n  (0,02 / 1,96)2 = 0,24/n 0,000104123. n = 0,24  n = 0,24 / 0,0001041 = 2305,47 La muestra debe ser de 2306 adultos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_3 A partir de una muestra de 141 adultos se ha estimado una proporción mediante el intervalo de confianza (0,15, 0,19). ¿Cuál es el nivel de confianza con el que se ha hecho la estimación?. Resolución: pr es el valor medio del intervalo: pr = (0,15+0,19)/2=0,17 El error E es la mitad de la longitud del intervalo: E =0,04/2 = 0,02 El error máximo admisible o cota de error para la estimación de p es: E = zα/2 .√pr.(1 – pr)/n 0,02 = zα/2 √0,17.(1 – 0,17)/141 0,02 = zα/2 0,0316  zα/2 = 0,02 / 0,0316 = 0,6331 P(z > zα/2 ) = α/2  P(z > 0,6331) = 1 – ø(0,6331) Por Tablas: ø(0,6331) = 0,7366 Luego P(z > 0,6331) = 1 – 0,7366 = 0,2633 α/2 = 0,2633  α = 0,5266  (1 – α) = 0,4733 La estimación se ha realizado con un nivel de confianza del 47,33%, muy bajo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_3 A partir de una muestra de 141 adultos se ha estimado una proporción mediante el intervalo de confianza (0,15, 0,19). ¿Cuál es el nivel de confianza con el que se ha hecho la estimación?. Resolución: pr es el valor medio del intervalo: pr = (0,15+0,19)/2=0,17 El error E es la mitad de la longitud del intervalo: E =0,04/2 = 0,02 El error máximo admisible o cota de error para la estimación de p es: E = zα/2 .√pr.(1 – pr)/n 0,02 = zα/2 √0,17.(1 – 0,17)/141 0,02 = zα/2 0,0316  zα/2 = 0,02 / 0,0316 = 0,6331 . @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS … EJEMPLO_3 P(z > zα/2 ) = α/2  P(z > 0,6331) = 1 – ø(0,6331) Por Tablas: ø(0,6331) = 0,7366 Luego P(z > 0,6331) = 1 – 0,7366 = 0,2633 α/2 = 0,2633  α = 0,5266  (1 – α) = 0,4733 La estimación se ha realizado con un nivel de confianza del 47,33%, muy bajo. 0,17 – 0,02 μ=0,17 0,17+0,02 – 0,6331 0 0,6331 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS