Apuntes Matemáticas2º ESO U.D. 15 * 2º ESO PROBABILIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO U.D. 15.5 * 2º ESO PROBLEMAS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO Problema 1 Antes de distribuirlos para su venta una empresa comprueba el número de defectos en 500 artículos. Tras la inspección se elabora la tabla de frecuencias. Elegido un artículo al azar entre los 500, determinar: Probabilidad de tenga un defecto. P(1) = hi(1) = 120/500 = 0,24 Probabilidad de tenga tres defectos. P(3) = hi(3) = 10/500 = 0,0200 Probabilidad de tenga algún defecto. P(D>0) = hi(1+2+3+4) = = (120+15+10+5)/500 = 150/500 = 0,30 Probabilidad de tenga tres o más defectos, en cuyo caso no se pondría en venta. P(D>2) = hi(3+4) = (10+5)/500 = 0,03 Defectos fi pi =hi 350 0,7000 1 120 0,2400 2 15 0,0300 3 10 0,0200 4 5 0,0100 500 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO Problema 2 Tras un examen un profesor ha elaborado la tabla de frecuencias. Elegido un alumno al azar entre los 200 de 1º ESO, determinar: Probabilidad de que haya obtenido un 6,5 en el examen. P(6,5) = hi(7) = 35/200 = 0,1525 Probabilidad de que haya obtenido un 4,75 en el examen. P(4,75) = hi(4,5) = 45/200 = 0,2025 Probabilidad de que haya suspendido el examen. P(Nota<5) = hi(4,5+3+1) = = (45+20+10)/200 = 0,3525 Probabilidad de que haya obtenido una nota mayor de 6. P(Nota>6) = hi(7+9) = = (35+20)/200 = 0,3025 Notas mc=xi fi pi =hi [0, 2) 1 10 0,0500 [2,4) 3 20 0,1000 [4,5) 4,50 45 0,2025 [5,6) 5,5 70 0,3500 [6,8) 7 35 0,1525 [8,10] 9 200 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO Problema 3 Un grupo de 10 amigos acuerdan salir todos los días, computando en una tabla de frecuencias, día a día, el número de ellos que acuden a la cita, durante un año. Según esa simulación: ¿Qué probabilidad hay de que un día cualquiera se reunieran 5 amigos?. P(A=5) = hi(5) = 65/365 = 0,1780 ¿Qué probabilidad hay de que el 2 de Mayo se reunieran 8 amigos?. P(A=8) = hi(8) = 35/365 = 0,0959 ¿Qué probabilidad hay de que un día cualquiera se reunieran menos de 5? P(A<5) = hi(4+3+2) = (40+17+10)/365 = = 67/365 = 0,1836 ¿Qué probabilidad hay de que el 1 de Junio se reunieran 6 ó 7 amigos?. P(A=6U7) = hi(6+7) = 145/365 = 0,3834 Amigos fi pi =hi 2 10 0,0274 3 17 0,0466 4 40 0,1096 5 65 0,1780 6 75 0,2055 7 70 0,1918 8 35 0,0959 9 28 0,0767 15 0,0411 365 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO Problema 4 Se extraen dos bolas al azar de una urna opaca en la que hay cuatro bolas numeradas; de modo que la primera bola extraída no ser reincorpore a la urna. El espacio muestral sería: E={12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43] Serían pues 12 sucesos posibles. Cada uno de los 12 sucesos elementales tendría la misma posibilidad de salir. ¿Cuál es la probabilidad de salir 21?. P(A=21) = c.f./c.p.= 1 / 12 = 0,0833 ¿Y de que una de las bolas sea un 3? P(A=X3U3X) = c.f./c.p.= 6 / 12 = 0,50 ¿Y de que la suma sea mayor de 5? P(S>5) = c.f./c.p.= 4 / 12 = 1 / 3 = 0,3333 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO Problema 5 Se extraen tres bolas al azar de una urna opaca en la que hay una bola Blanca, una Roja y una Negra; de modo que tras cada extracción devolvemos la bola a la urna. El que saque alguna bola Roja, pierde lo apostado; el que saque una blanca gana lo apostado; si saca dos blancas gana el doble; y si saca las tres blancas gana el triple de lo apostado. Hacemos el diagrama de árbol. Vemos que son 27 sucesos posibles, y que todos ellos son equiprobables, por lo que podemos aplicar la Regla de Laplace. P(B) = cf / cp = 12 / 27 = 0,4444 P(BB) = cf / cp = 6 / 27 = 0,2222 P(BBB) = cf / cp = 1 / 27 = 0,0366 P(RURRURRR) = 19 / 27 = 0,7004 Como se ve la probabilidad de perder es muy elevada. Perdería en 7 de cada 10 apuestas. Y ganaría el pleno en casi 4 de cada 100. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Diagrama de árbol Problema 5 Con cada extracción se multiplican por 3 los casos o sucesos posibles. B N R B N R B N R B N R B N R B N R B N R B N R B N R B N R B N R B N R B N R @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO Problema 6 En nuestra clase, 1ºA ESO, preguntados los alumnos sobre su afición preferida, rellenamos la siguiente tabla de contingencia: Elegido un alumno al azar, … Hallar la probabilidad de que …. a) Sea una alumna. P(A) = 14 / 24 = 7/12 = 0,5833 b) Le guste el cine. P(B) = (1+3) / 24 = 4/24 = 1/6 = 0,1667 c) Sea un alumno y le guste la música. P(C) = 6 / 24 = 1/4 = 0,25 d) Sea una alumna deportista. P(D) = 2 / 24 = 1/12 = 0,0833 Alumnos Alumnas Total MÚSICA 6 9 15 DEPORTE 3 2 5 CINE 1 4 10 14 24 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO Problema 8 Lanzamos al aire dos dados normales. El espacio muestral tendría 36 sucesos posibles, demasiados, lo que obligaría a usar la Tabla de contingencia para no omitir ningún suceso. Probabilidades de la suma: P(2) = 1 / 36 = 0,0278 P(3) = 2 / 36 = 0,0556 P(4) = 3 / 36 = 0,0833 P(5) = 4 / 36 = 0,1111 P(6) = 5 / 36 = 0,1389 P(7) = 6 / 36 = 0,1667 P(8) = 5 / 36 = 0,1389 P(9) = 4 / 36 = 0,1111 P(10) = 3 / 36 = 0,0833 P(11) = 2 / 36 = 0,0556 P(12) = 1 / 36 = 0,0278 Se puede comprobar que la suma de probabilidades es la unidad, salvo error en redondeo. Dado 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Dado 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO Problema 9 Tenemos 15 papeletas numeradas. Extraemos una al azar. a) Hallar la probabilidad de que resulte un número par. b) Hallar la probabilidad de que resulte un múltiplo de 3. c) Hallar la probabilidad de que ni sea par ni múltiplo de 3. Como intuimos que puede haber sucesos que cumplan a la vez con dos o más de los interrogantes, realizamos un Diagrama de Venn. En A anotaríamos las papeletas con numeración par. En B anotaríamos las papeletas con números múltiplos de 3. Probabilidades: P(A) = 7 / 15 = 0,4667 P(B) = 5 / 15 = 0,3333 P(C) = 5 / 15 = 0,3333 Vemos que la suma es mayor de la unidad; lo que se debe a los elementos de la intersección. P(AUB) = 10 / 15 = 0,6667 E 1 14 3 2 6 3 5 9 4 7 12 12 15 11 8 6 10 15 13 9 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO

Apuntes Matemáticas2º ESO Problema 10 En nuestra clase hay 9 alumnos que practican el fútbol, otros 7 que practican tenis, 4 que practican ambos deportes y finalmente 5 que no practican ningún deporte. Elegimos un alumno al azar. a) Hallar la probabilidad de que practique el fútbol. b) Hallar la probabilidad de que practique el tenis. c) Hallar la probabilidad de que practique el fútbol y el tenis. d) Hallar la probabilidad de que no practique ni fútbol ni tenis. Realizamos un Diagrama de Venn por haber elementos comunes. Probabilidades: P(A) = (9+4) / 25 = 0,52 P(B) = (7+4) / 25 = 0,44 P(C) = 4 / 25 = 0,16 P(C) = 5 / 25 = 0,20 Vemos que la suma es mayor de la unidad; lo que se debe a los elementos de la intersección. P(AUB) = 20 / 25 = 0,80 E 9 7 5 4 6 9 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas2º ESO