Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROGRAMACIÓN LINEAL U.D. 5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMA RESUELTO DE PROGRAMACIÓN LINEAL U.D. 5.4 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMA RESUELTO EN P.L. Un PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL es aquel en que pretendemos hallar el máximo o el mínimo de una función, llamada FUNCIÓN OBJETIVO, sujeta a una serie de restricciones que vienen expresadas en forma de inecuaciones. Para resolver un problema de programación lineal tendremos que: 1.- Encontrar la función objetivo y el conjunto de restricciones. Para encontrar la función objetivo debemos deducir correctamente qué es lo que se pretende que sea del mayor o del menor valor posible, escudriñando un enunciado que suele ser bastante largo, preciso y meticuloso. De dicho enunciado hay que deducir las restricciones, convirtiendo las mismas en un sistema de inecuaciones. 2.- Determinar la región factible, que será la solución al sistema de inecuaciones lineales formado por las restricciones. 3.- Calcular el punto o puntos donde la función objetivo alcanza el máximo o el mínimo. En general puede hacerse de dos formas: Mediante el cálculo del valor de la función en los vértices de la región factible; o mediante el trazado gráfico de las rectas afines a la función objetivo que pasan por los vértices de la región factible. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA: ENUNCIADO ENUNCIADO Los alumnos de 2º curso de bachillerato del IES “Jorge Manrique” pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragar parte de los gastos del viaje fin de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de chocolatinas y cinco participaciones para la rifa de un coche; y cada lote de tipo B de dos cajas de chocolatinas y dos participaciones. Por cada lote de tipo A vendido, los alumnos obtienen un beneficio de 8 € y por cada lote de tipo B, de 10 €. Por razones de almacenamiento y conservación pueden disponer, a lo sumo, de 400 cajas de chocolatinas. Asimismo los alumnos sólo disponen de 1200 participaciones para la rifa del coche y deben maximizar sus beneficios. Se desea saber cuántas unidades de cada tipo, A y B, deben vender para que el beneficio obtenido sea el máximo, así como la cantidad a que asciende dicho beneficio @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMA: FUNCIÓN OBJETIVO 1.- Encontrar la función objetivo y el conjunto de restricciones. Siendo x e y las unidades vendidas de cada tipo. x = unidades vendidas del tipo A y = unidades vendidas del tipo B La función objetivo: Por cada lote vendido de tipo A gana (beneficio) 8 €. Por cada lote vendido de tipo B gana (beneficio) 10 €. Luego la expresión que nos de el beneficio en función de las unidades vendidas de cada tipo será: f (x, y) = 8.x + 10.y Beneficio = 8·x + 10·y @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMA: RESTRICCIONES 1.- Encontrar la función objetivo y el conjunto de restricciones. Las restricciones Las restricciones del problema son las trabas, las limitaciones o condicionantes que nos vamos a encontrar a la hora de obtener ese máximo beneficio que se pretender. Serán: En lo tocante a cajas de chocolatinas disponibles: x + 2.y ≤ 400 En lo tocante a participaciones con que cuentan: 5.x + 2.y ≤ 1200 Además tanto x como y deben ser números enteros y positivos x ≥ 0 y ≥ 0 Obsérvese que tenemos un sistema de cuatro inecuaciones con dos incógnitas, x e y. Hay que resolver el sistema para hallar la Región Factible. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMA: REGIÓN FACTIBLE Y PROBLEMA: REGIÓN FACTIBLE 600 200 2.- Calcular la región factible. Representamos gráficamente las inecuaciones (restricciones). 5.x + 2.y ≤ 1200  y ≤ 600 – 2´5.x x + 2.y ≤ 400  y ≤ 200 – 0´5.x y ≥ 0  y = 0 es el eje OX x ≥ 0  x = 0 es el eje OY Realizamos para ello una tabla de valores de las cuatro inecuaciones: x y1 y2 0 600 200 240 0 80 400 - 400 0 X 0 240 400 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMA: REGIÓN FACTIBLE Y PROBLEMA: REGIÓN FACTIBLE 2.- Calcular la región factible. La región factible será la intersección de los rayados parciales, que vemos es un cuadrilátero de vértices ABCD A(0,0) B(0, 200) C(200, 100) D(240, 0) El vértice C(200, 100), no existente en la Tabla de valores, surge de la intersección de las rectas fronteras verde y azul. X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMA: CÁLCULO DEL MÁXIMO 3.- Calcular el punto (normalmente es un vértice) donde la función objetivo alcanza el máximo valor. Tomamos la función objetivo f (x,y) = 8.x + 10.y Calculamos su valor en los vértices: f(A) = 8.0+10.0 = 0  NO f(B) = 8.0+10.200 = 2.000 f(C) = 8.200+10.100 = 2.600 f(D) = 8.240 + 10.0 = 1.900 Vemos que debemos vender 200 del tipo A y 100 del B para obtener el máximo beneficio: Beneficio máximo: 2.600 € B(0,200) C(200,100) A(0,0) D(240,0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMA: CÁLCULO GRÁFICO DEL MÁXIMO BENEFICIO 3.- Calcular el punto donde la función objetivo alcanza el máximo valor. Vamos a resolverlo de forma gráfica, sin cálculos numéricos. Tomamos la función objetivo f (x,y) = 8.x + 10.y Dibujamos: 8.x + 10 y = 0 10.y = - 8.x  y = - 0,8.x Dibujamos las paralelas o funciones afines que pasan por los vértices. Aquella paralela que tenga la mayor ordenada en el origen será la que corresponda al vértice de mayor beneficio. En este caso al vértice C(200,100) B máx = 8·200+10·100 = 2.600 € B(0,200) C(200,100) A(0,0) D(240,0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA: EPILOGO 4.- Conclusión y situación final. Vendiendo 200 lotes de A y 100 lotes de B es como se obtiene el máximo beneficio en la venta. Pero eso no siempre se corresponde con haber vendido la totalidad de la mercancía. Hemos vendido: Cajas de chocolatinas: 1.200 + 2.100 = 200 + 200 = 400 cajas. Participaciones: 5.200 + 2.100 = 1000 + 200 = 1200 En nuestro caso se han vendido la totalidad de las cajas y de las participaciones que había. Es el caso ideal, conseguir el máximo beneficio sin que quede nada de excedente, pues lo más típico es que quedaran varias cajas o participaciones sin vender. Puede ocurrir sin embargo que, por las condiciones del problema, para conseguir el máximo beneficio lo excedente sea superior a otra situación de menor beneficio. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.