CHI CUADRADO  2 OBJETIVOS –Describir situaciones donde es adecuado la utilización de la prueba de Chi Cuadrado (  2 ) –Formular Hipótesis para diferentes situaciones. –Calcular la Prueba de Chi Cuadrado e interpretar los resultados. –Evaluación de muestras Independientes.

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE  2  2 es siempre positivo porque es una suma de cuadrados. Varia desde 0 a  (no tiene valores negativos) Familia de distribuciones que dependen de 1 parámetro (gl=grados de libertad) Media de la Distribución = gl Varianza de la Distribución=2gl La distribución tiene sesgo positivo y cuando los gl aumentan se aproxima a la distribución normal Moda = gl-2 para gl  2 y 0 para gl=1

PRUEBAS DE  2 BONDAD DE AJUSTE –Se utiliza para la comparación de la distribución de una muestra con alguna distribución teórica que se supone describe a la población de la cual se extrajo. INDEPENDENCIA –La Ho indica que 2 variables o criterios de clasificación son independientes cuando se aplican a un conjunto de individuos (unidades de observación) –Totales Marginales Aleatorios HOMOGENEIDAD –Se extraen Muestras Independientes de varias poblaciones y se prueban para ver si son homogéneas con respecto a algún criterio de clasificación. –Un conjunto de Totales Marginales Son Fijos mientras que los otros marginales son Aleatorios.

PRUEBAS DE  2 Uni-Dimesional –Se basa en la Distribución de Probabilidad Multinomial. Bondad de Ajuste

Propiedades de la Distribución de Probabilidad Multinomial El experimento consiste en n ensayos idénticos. Hay k posibles resultados de cada ensayo. La probabilidad de k resultados son p 1, p 2, p k y se mantienen constantes de ensayo en ensayo donde p 1 + p p k = 1 Los ensayos son independientes. La variable aleatoria de interés son los conteos n 1, n 2, n k en cada una de la k categorías.

Prueba de Bondad de Ajuste Se trata de probar si los datos de una muestra tomada difieren de cierta distribución predeterminada. Los n datos tomados deben estar divididos en categorías Categoría123…K Frecuencia observada Obs 1 Obs 2 Obs 3 Obs k n Las probabilidades pi, de caer en la categoría i están dadas por la H 0, son constantes entre ensayos y suman 1. La hipótesis nula es H 0 : p i = valores dados, es decir los datos siguen una distribución determinada con la cual se calcularán las frecuencias esperadas. La hipótesis alternativa H 1 : al menos una de las p i es distinta de la probabilidad dada en la H 0.

SUPUESTOS PARA LA PRUEBA DE  2 –Experimento multinomial. Lo que se satisface tomando una muestra aleatoria de la población de interés. –El tamaño de muestra es lo suficientemente grande para que el número esperado en las categorías sea  5, para asegurar que  2 se aproxime a la distribución real (multinomial). –Se puede recurrir a colapsar categorías contiguas (celdas) con valores esperados menores de 5.

La prueba estadística es: Donde p io representa la proporción deseada en la i-ésima categoría, Obs i la frecuencia observada en la categoría i y n es el tamaño de la muestra. La prueba estadística se distribuye como una Ji-Cuadrado con k-1 grados de libertad donde, k es el número de categorías. Si el valor de la prueba estadística (  2 calculado) es mayor que el valor crítico (  2 de la tabla) se rechaza la hipótesis nula Ei: frec. Esperada de la i-ésima clase Oi: frec. Observada de la i-ésima clase N: número de clases k: número de parámetros estimados a partir de la muestra

Tabla 1. Distribución de frecuencias del peso de 35 novillos. Bondad de Ajuste con la Distribución Normal gl=2 k=2

Tabla 1. Distribución de frecuencias del peso de 35 novillos. Bondad de Ajuste con la Distribución Uniforme gl=6

Tablas de Contingencia INDEPENDENCIA –Experimento multinomial con clasificación con 2 criterios (2 factores). Los datos se pueden resumir en una tabla de 2 vías (dimensiones). (Ejemplo número de animales enfermos por condición corporal). –La Ho indica que 2 variables o criterios de clasificación son independientes cuando se aplican a un conjunto de individuos (unidades de observación) –Totales Marginales Aleatorios HOMOGENEIDAD –Se extraen Muestras Independientes de varias poblaciones y se prueban para ver si son homogéneas con respecto a algún criterio de clasificación. (Ejemplo prevalencia de enfermos por región) –Un conjunto de Totales Marginales Son Fijos mientras que los otros marginales son Aleatorios.

La prueba de Independencia se efectúa para probar si hay asociación entre las variables categóricas A y B La prueba de Homogeneidad es una generalización de la prueba de igualdad de dos proporciones. Se trata de probar si para cada nivel de la variable B, la proporción con respecto a cada nivel de la variable A es la misma.

Hipótesis Las hipótesis de Independencia: Ho: Las variables A y B son independientes P(A  B)=P(A) P(B) H 1 : Las variables A y B están asociadas Las hipótesis de Homogeneidad: Ho: Las proporciones de cada valor de la variable A son iguales en cada categoría de la variable B.  i P i =P Ha: Al menos una de las proporciones es diferente. Ambas hipótesis se prueban usando una prueba de Chi-Cuadrado

Pruebas de Independencia y Homogeneidad Ambas hipótesis se prueban usando una prueba de Ji-Cuadrado: donde O ij es la frecuencia observada de la celda que está en la fila i, columna j, es la frecuencia esperada de la celda (i, j). La frecuencia esperada es aquella que sería esperable encontrar si la hipótesis nula es verdadera. El estadístico de la prueba se distribuye como una Ji-Cuadrado con (r-1)(c-1) grados de libertad. La hipótesis Nula se rechaza si, donde es el nivel de significancia o equivalentemente si el “p-value” es menor que 0.05.

Tablas de Contingencia

Un veterinario sostiene que la castración de las perras es un factor que está asociado a la incontinencia urinaria (IU) de las mismas. A los efectos de probar sus dichos realizó un estudio en un hospital donde a las hembras que ingresaban las clasificó como castradas (C) y enteras (NC) y con incontinencia (IU) y sin incontinencias (NIU) urinarias obteniendo los siguientes resultados. ¿Pruebe a un nivel de significación de 0.05 si estas variables están asociadas? PRUEBA DE INDEPENDENCIA

A los efectos de probar la protección de 2 vacunas contra los abortos producidos por una enfermedad X se seleccionaron 3 lotes de 150 vacas cada uno de un establecimiento con la enfermedad. Esto lotes fueron vacunados con: Lote 1 = Placebo, Lote 2 = Vacuna 1 y Lote 3 = Vacuna 2. En el primer lote hubo 20 abortos en el "lote 2" 10 abortos y en el "lote 3" 5 abortos. Pruebe a un nivel de significación de 0,01 si la respuesta a la vacunación fue homogénea. Prueba de Homogeneidad

nivel de confianza

gl = n-1

Ejemplo: Intervalo de Confianza 90% n=7