MEDIDA DE LONGITUDES U. D. 8 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PITÁGORAS EN EL ESPACIO U. D. 8.3 * 4º ESO E. AP. PITÁGORAS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Apuntes de Matemáticas 4º ESO MÉTRICA DEL PRISMA Sus bases, ambas iguales, son siempre polígonos de n lados. Sus caras laterales, iguales o no, son siempre paralelogramos, cuadrados y rectángulos en prismas rectos; y rombos y romboides en prismas oblicuos. Presenta varios tipos de diagonales: DIAGONALES DE LAS BASES: Si la base es rectangular, presenta dos diagonales iguales. Sea d la diagonal del rectángulo de la base Por Pitágoras: d = √(l2 + a2) d’’ h d’ d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO DIAGONAL DEL PRISMA DIAGONALES DE LAS CARAS LATERALES: Presenta dos diagonales iguales por cada cara lateral si el prisma es recto. Por Pitágoras: d’ = √(h2 + a2) en una cara. d’’ = √(l2 + h2) en otra cara lateral distinta. DIAGONAL DE UN PRISMA: Se llama así a la que une vértices opuestos respecto al centro geométrico del prisma. Se denota por D. En un prisma de base rectangular o cuadrada hay cuatro y todas del mismo valor. Es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son d y h, diagonal de la base y altura. Luego se puede y se debe utilizar el Teorema de Pitágoras: D = √(d2 + a2) = √ (l2 + a2 + h2) D h d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO Ejemplo_1 Un prisma recto de base rectangular presenta las siguientes dimensiones: Largo=4 cm, ancho=3 cm y alto=5cm. Hallar sus diagonales. Diagonales de la base: d= √(l2 + a2) = √(16 + 9) = √ 25 = 5 cm Diagonales laterales: d’= √(l2 + h2) = √(16 +25) = √ 41 cm d’’= √(a2 + h2) = √(9 +25) = √ 34 cm Diagonal del prisma: D = √(d2 + a2) = √ (l2 + a2 + h2) = = √ (16 + 9 + 25) = √ 50 = √ 2.25 = 5.√2 cm D h d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO Ejemplo_2 Un prisma recto de base rectangular presenta doble largo que ancho, la altura mide 10 cm y la diagonal del prisma mide 13 cm. Hallar las dimensiones de la base. Diagonal del prisma: D = √(d2 + a2) = √ (l2 + a2 + h2) = 13 Como l = 2.a y h= 10 13 = √ (4.a2 + a2 + 100) Elevando todo al cuadrado: 169 = 5.a2 + 100 69 = 5.a2  a2 = 69/5  a = √69/5 l = 2.a  l = 2.√69/5 D h d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO Ejemplo_3 Un prisma recto de base rectangular presenta una altura 3 cm mayor que el ancho, el largo mide 5 cm y la diagonal del prisma mide 9 cm. Hallar el ancho y la altura del prisma. Diagonal del prisma: D = √(d2 + a2) = √ (l2 + a2 + h2) = 9 Como h = a + 3 y l = 5 Pitágoras: 92 = 52 + a2 + (a+3)2 81 = 25 + a2 + a2 + 6.a + 9 2.a2 + 6.a - 47  Ecuación de 2º grado a = (- 6 +/- √(36+376))/4 a = 3,575 cm  l = 2.a = 7,15 cm D h d a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO Ejemplo_4 La diagonal de un cubo es 8.√3 cm. Hallar la arista, la diagonal de la base y el área lateral. Como la diagonal del cubo es: D = √(a2 + a2 + a2) D = √(3.a2) D = a.√3 8.√3 = a.√3 a = 8 Diagonal de la base: d = √(a2 + a2) d = √(2.a2) d = a.√2 Al = 4.a2 = 4.82 = 4.64 = 256 cm2 D h d a a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO MÉTRICA DE LA PIRÁMIDE La apotema de la pirámide, Apo, es la altura del triángulo isósceles lateral de la misma. La apotema es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura, h, y la mitad del lado de la base, l/2. Luego Apo = √ [ (l/2)2 + h2 ] Cuando la base sea un rectángulo, habrá otra apotema distinta: Apo’ = √ [ (a/2)2 + h2) La arista lateral de la pirámide es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la apotema de la cara y la mitad de la base de dicha cara. Al = √ [(a/2)2 + Apo2)] h Apo a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO Ejemplo_1 Una pirámide recta de base cuadrangular presenta una altura de 4 cm y un lado de la base de 6 cm. Hallar el perímetro de la base, la apotema y la arista lateral. P = 4.l = 4.6 = 24 cm Por Pitágoras: apo = √ [ (l/2)2 + h2) Apo = √ [ (6/2)2 + 42 ] = √ 25 = 5 cm Arista lateral: al = √ [ (l/2)2 + apo2) = √ 9 + 25 = = √ 34 cm apo al l l/2 l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO Ejemplo_2 La apotema señalada en la figura de la pirámide mide 7 cm, y la altura es 1 cm mayor que el ancho de la base. Hallar el ancho y la altura. Por Pitágoras: Apo = √ [ (a/2)2 + h2)  7 = √ [ (a/2)2 + (a+1)2 ] Elevando todo al cuadrado: 49 = (a2 / 4) + a2 + 2.a + 1 196 = 5.a2 + 8.a + 4 5.a2 + 8.a – 192 = 0 Resolviendo … a = 5,45 cm El otro valor de a, negativo, no vale. Luego h = a+1 = 6,45 cm h Apo a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO Ejemplo_3 La apotema señalada en la figura de la pirámide mide 7’07 cm. Sabemos que el largo de la base mide el doble que el ancho y que la altura mide el triple del ancho. Hallar las dimensiones de la pirámide y la arista lateral. Por Pitágoras: Apo = √ (a2 + (3.a)2)  7’07 = √ (a2 + 9.a2 ) Elevando todo al cuadrado: 50 = 10.a2  5 = a2  a = √5 cm a= - √5 cm no vale por el enunciado. Luego l = 2.√5 cm , h = 3.√5 cm La arista lateral valdrá: Al = √ [Apo2 + (a/2)2] = =√ (50 + (5/4)) = 7,16 cm Al Apo h Apo a a a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO MÉTRICA DEL CONO En un cono la generatriz, g, es hipotenusa de un triángulo rectángulo donde los catetos son: El radio, r, de la base del circular del cono; y la altura del mismo. Por Pitágoras: g2 = r2 + h2 El área lateral de un cono es: Al = π.r.g EJEMPLO Si un cono tiene un radio de la base r=3 cm, y una altura de h= 4 cm g =√ r2 + h2 = √ 32 + 42 = √ 25 = 5 cm Área lateral: Al = π.3.5 = 15.π cm2 g h r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO Ejemplo_1 El radio de la base de un cono mide 5 cm menos que la altura del cono, y la generatriz 7 cm. Hallar la altura del cono y el área lateral. Sabemos que en el cono: g2 = r2 + h2 72 = (h - 5)2 + h2 Operando: 49 = h2 – 10.h + 25 + h2  2.h2 – 10.h – 24 = 0 Simplificando: h2 – 5.h – 12 = 0 Resolviendo la ecuación: h = [(5 + √ (25 + 48)] / 2 = 6,75 cm El radio de la base es: r = h – 5 = 6,75 – 5 = 1,75 cm El área lateral es: Al = π.r.g = π.r.√ (h2 + r2 ) Al = π.1,75.√ (6,752 + 1,752 ) = π.1,75.7 = 12,25. π cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO Ejemplo_2 El radio de la base de un cono mide 5 cm. Hallar la altura para que el área lateral sea igual al área de la base. El área de la base es: Ab = π.r2 = π.52 = 25 π cm2 El área lateral es: Al = π.r.g = 5.π.g Igualando ambas: 25.π = 5. π.g  g = 5 Conocidas la generatriz y el radio de la base, por el T. de Pitágoras hallamos la altura: h = √ (g2 - r2 )  h = √ (52 – 52) = 0 El cono es imposible, pues para que se cumpla la condición del enunciado la altura sería nula, y por tanto no existe cono alguno. IMPORTANTE: En un cono el área lateral es SIEMPRE MAYOR que el área de la base. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO