Cociente de polinomios U.D. 3 Cociente de polinomios Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente) y R (el resto) tales que P = Q. D + R siendo grado(R) < grado(D) Algoritmo de la división Primer paso 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 Cociente de los términos de mayor grado – (3x5 + 2x4 –4x3) x3 Se resta x3 . D 6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 x3 – (3x5 + 2x4 –4x3) 6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6 Segundo paso Cociente de los términos de mayor grado + 2x2 – (6x4+ 4x3 – 8x2) Se resta 2x2 . D – 3x2 – 3x + 6 3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4 x3 + 2x2 – (3x5 + 2x4 –4x3) 6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6 – (6x4– 4x3 – 11x2) – 3x2 – 3x + 6 Tercer paso Cociente de los términos de mayor grado cociente – 1 –(– 3x2 – 2x + 4) Se resta (–1) . D – x + 2 resto 1

Por tanto: D = – (Aa3 + Ba2 + Ca ) = – a (Aa2 + Ba + C ) U.D. 3 Raíces de un polinomio Un número a es una raíz o un cero del polinomio P, si P(a) = 0 Raíces enteras: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente Si a es raíz entera de P = Ax3 + Bx2 + Cx + D, entonces: P(a) =Aa3+Ba2+Ca+D=0 Por tanto: D = – (Aa3 + Ba2 + Ca ) = – a (Aa2 + Ba + C ) Como D es entero, a es entero y Aa2 + Ba + C es entero, entonces a divide a D Teorema del resto: el resto de dividir un polinomio P entre x – a es P(a) Al dividir P entre x – a se obtiene: P=Q . (x – a) + r, con grado(r)<grado (x–a)= 1 Luego r es una constante, y tendremos: P(a) = Q . (a – a) + r: es decir P(a) = r Se deduce que: a es raíz de P  P es divisible por x – a 2

U.D. 3 Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12 a 2 se suma 2 – 6 – 4 12 2 Regla de Ruffini Para dividir un polinomio P= 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se aplica la Regla de Ruffini Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12 a 2 se suma 2 – 6 – 4 12 2 Se opera: 2 4 – 4 – 16 se multiplica por a –2 –8 – 4 r Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4) 3

Si P = Q . S se dice que los polinomios Q y S son factores de P U.D. 3 Factorización Si P = Q . S se dice que los polinomios Q y S son factores de P Teorema del factor: si x – a es factor de P, entonces a es raíz de P La demostración es inmediata teniendo en cuenta que si x– a es factor de P entonces P = (x – a) . Q, de donde se deduce que P(a) = 0 Ejemplo: descomponer P = x3 – 2x + 4 1.– Buscamos posibles soluciones de la ecuación x3 – 2x + 4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}. La regla de Ruffini nos permite encontrar cuáles de ellos son ceros del polinomio. 1 0 –2 4 –2 –2 4 –4 1 –2 2 0 2.– Por tanto P = (x + 2) (x2 – 2x + 2) 3.– Intentamos descomponer x2 – 2x + 2. Como la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales, en R no es posible descomponer más este polinomio. 4.– Pero queremos descomponer el polinomio en C, al resolver dicha ecuación obtenemos dos soluciones: 1 + i y 1 – i. Por tanto: x3 – 2x + 4 = (x + 2).(x – 1 – i) (x – 1 + i) 4

Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución. U.D. 3 Interpretación geométrica de las soluciones de una ecuación de 2º grado Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas cuadráticas, son equivalentes a ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 con a  0 Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución. Interpretación geométrica: un polinomio de segundo grado está representado por una parábola. Según la parábola corte al eje X en dos, uno o ningún punto la ecuación cuadrática tendrá dos, una o ninguna solución. y = x2 +1 y = (x +2)2 y = x2 – 2 (x + 2)2 = 0 tiene una solución doble: –2. El polinomio tiene una raíz real doble. La parábola corta al eje x en un punto x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas: i. No tiene soluciones reales: la parábola no corta al eje x x2 –2 = 0 tiene dos soluciones. El polinomio tiene dos raíces reales distintas. La parábola corta al eje x en dos puntos 5

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales U.D. 3 Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales x + y = 1 5x + y = 13 Es un sistema con solución única. x + y = 1 x + y = 2 Es un sistema sin solución. x + y = 1 2x + 2y = 2 Es un sistema con infinitas soluciones. 6

Sistemas de ecuaciones no lineales U.D. 3 Sistemas de ecuaciones no lineales No hay un método general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no lineales. Pueden tener cualquier número de soluciones, en número finito o infinito. Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es encontrar todos los puntos en común a las rectas – curvas que forman el sistema Ejemplo Se despeja y de la segunda ecuación y se sustituye en la primera. Se obtiene: x2 – 7x + 12 = 0 Al resolver: x=3, x = 4 Sustituimos estos valores de x en la segunda ecuación y se obtiene: y = 4, y = 3 El sistema tiene dos soluciones: x = 3, y = 4 x = 4, y = 3 Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos puntos en común que tienen la circunferencia x2 + y2 = 25, y la recta x + y = 7 7

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método de Gauss U.D. 3 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método de Gauss (1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec (2ª ec) (–1) + 3ª ec  Se despejan incógnitas hacia arriba 8

Un sistema de ecuaciones lineales sin solución U.D. 3 Un sistema de ecuaciones lineales sin solución (1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec (2ª ec) (–1) + 3ª ec La ecuación 0 = – 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha llegado no tiene solución. Como el sistema original es equivalente, tampoco tiene solución. 9

Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones U.D. 3 Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones (1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec La ecuación 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada, obteniéndose con ello un sistema equivalente al original. Al darle a z un valor cualquiera (por ejemplo z = –1), podemos obtener las otras incógnitas por sustitución hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una solución: x= 5, y = 2, z = –1 Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema tiene infinitas soluciones 10

Inecuaciones de primer grado U.D. 3 Inecuaciones de primer grado Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de primer grado. Puede ocurrir que: Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solución. Las que no están en ninguno de los casos anteriores son equivalentes a inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x  a, o x  a Ejemplos: 1/3 Soluciones: (1/3,+) 2x + 3 < 5x + 2  x > 1/3 Como esto es siempre cierto, son son solución todos los números reales. Soluciones: (– ,+) 3 – 2x < 5 – 2x  0 < 2 5 – 3x  2 – 3x  3  0 Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución 11

Inecuaciones polinómicas U.D. 3 Inecuaciones polinómicas Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0 Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no nulo que dependerá del signo de los factores. Ejemplo: 2x2 – 2x + 1  x2 + 2x – 2  x2 – 4x + 3  0  (x – 1) . (x – 3)  0 Los puntos que son solución aparecen de color azul. 3 1 – + + x – 1 – – + x – 3 + – + (x – 1)(x – 3) Soluciones: (–, –1]  [1, + ) 12

Inecuaciones racionales U.D. 3 Inecuaciones racionales Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0 Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no nulo que dependerá del signo de los factores. Los ceros de los polinomios denominador no son soluciones porque no es posible la división por 0. Los puntos que son solución aparecen de color azul. 4 –3 + – – x – 4 + + – x + 3 (x – 4)/(x +3) + + – Soluciones: (–, –3)  [4, + ) 13