Apuntes Matemáticas 2º ESO U.D. 4 * 2º ESO PROPORCIONALIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

PROPORCIONALIDAD DIRECTA U.D. 4.2 * 2º ESO PROPORCIONALIDAD DIRECTA @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Proporcionalidad DIRECTA. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando se cumplen dos condiciones: PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. La razón, r, entre esas dos magnitudes se llama razón de proporcionalidad. Magnitud M a  b  c Magnitud N a’  b’  c’ a b c --- = --- = --- = r a’ b’ c’ @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Proporcionalidad DIRECTA. EJEMPLO 1 Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. Magnitud “Ganancias” 8  12  16 Magnitud “Horas trabajo” 2  3  4 PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 12 > 8  3 > 2 16 >12  4 > 3 SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 8 12 16 --- = --- = --- = 4 , como vemos es un valor constante 2 3 4 Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Proporcionalidad DIRECTA. EJEMPLO 2 Nos cobran 80 € si compramos 4 libros, 120 € si compramos 6, 200 € si compramos 10, etc. Magnitud “Coste” 80  120  200 Magnitud “Nº cuadernos” 4  6  10 PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 4 < 6 < 10  80 < 120 < 200 SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 80 120 200 ----- = ----- = ----- = 20 , como vemos es un valor constante: k = 20 4 6 10 Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO CONTRAEJEMPLO Una persona gana 14 € si trabaja 2 horas, 24 € si trabaja 4 horas, 40 € si trabaja 8 horas, etc. Magnitud “Ganancias” 14  24  40 Magnitud “Horas trabajo” 2  4  8 PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 14 24 40 --- = 7 ,, --- = 6 ,, --- = 5 , como vemos NO es un valor constante 2 4 8 Las dos magnitudes dadas NO son directamente proporcionales. En muchos trabajos cuanto más horas se trabaje, menor es el salario correspondiente a cada hora trabajada. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO CONTRAEJEMPLO 2 Sacamos un 8 en un examen si estudiamos 4 horas diarias, un 6 si estudiamos 3 horas diarias y un 3 si estudiamos 1 hora diaria. Magnitud “Nota” 3  6  8 Magnitud “Horas estudio” 1  3  4 PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 1 < 3 < 4  3 < 6 < 8 SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 3 6 8 --- = 3, ----- = 2, ----- = 2 , como vemos NO es un valor constante: k <> 2 1 3 4 Las dos magnitudes dadas NO son directamente proporcionales. Suele pasar que cuantas más horas se estudie mayor nota se obtiene en un examen, pero no de forma directamente proporcional. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO REGLA DE TRES DIRECTA Si dos magnitudes son directamente proporcionales, podemos aplicar para la resolución del ejercicio la llamada Regla de tres simple directa. Una persona gana 8 € si trabaja 2 h.¿Cuánto ganará si trabaja 15 h?. 2 h  8 € 15 h  x € Se multiplican en cruz y se igualan: 2.x = 15.8  2.x = 120  x = 120 / 2 = 60 € Muy importante: NO se puede aplicar una regla de tres simple directa si las magnitudes que intervienen no son directamente proporcionales. La razón de proporcionalidad sería, en este caso: r=4 , lo que vale la hora trabajada. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO REGLA DE TRES DIRECTA Ejemplo 2 Si cuatro cuadernos nos han costado 8 €, ¿cuánto nos costarán 7 cuadernos?. 4 c  8 € 7 c  x € Se multiplican en cruz y se igualan: 4.x = 7.8  4.x = 56  x = 56 / 4 = 14 € La razón de proporcionalidad sería, en este caso: 8 14 --- = ---- = r , de donde r = 2 , que es lo que vale cada cuaderno. 4 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO REGLA DE TRES DIRECTA ¿Ejemplo 3? Si tres pintores tardan 4 días en pintar una casa, ¿cuántos días tardarán en pintar la misma casa seis pintores?. 3 p  4 d 6 p  x d Se multiplican en cruz y se igualan: 3.x = 6.4  3.x = 24  x = 24 / 3 = 8 días Vemos que algo está mal. El doble de pintores no pueden tardar el doble de tiempo, sino la mitad del tiempo. No se puede aplicar la regla de tres simple directa, porque las magnitudes (nº de pintores y tiempo en días) no son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO