POTENCIA E INVERSIÓN POTENCIA INVERSIÓN Eje radical Centro radical B’ Problemas de potencia B O INVERSIÓN T-T’ Inversión de un punto Inversión de una recta Inversión de una circunferencia Problemas de inversión Pedro Antonio Gómez López Dpto. de Dibujo - IES Monte Miravete (Torreagüera- Murcia)

POTENCIA Se llama potencia de un punto O respecto a una circunferencia, al producto de las distancias medidas desde ese punto a los dos de corte que resultan de lanzar desde O una secante o tangente sobre dicha circunferencia. Veamos como se hace en la práctica. Luego... Potencia= 4,8 x 11,2= 53,8 A’ OA’=11,2 B’ A OB’=12,5 Ahora probemos lanzando una línea desde O distinta a la anterior... OA=4,8 Potencia= 4,3 x 12,5 = 53,8 (sale lo mismo) B OB=4,3 O OT=7,3 T=T’ ¿Y si la línea es tan extrema que se convierte en una tangente, coincidiendo ambos puntos en uno ? Potencia= OT x OT’= 7,3 x 7,3 = 53,8 (vuelve a salir lo mismo) CONCLUSIÓN: La potencia de un punto respecto a una circunferencia es un valor constante y por tanto no cambia por el hecho de calcularse sobre líneas distintas trazadas desde el punto. inicio

EJE RADICAL Considerando 2 circunferencias, vamos a hallar una serie de puntos cuya potencia, medida sobre ambas circunferencias, sea idéntica... A El punto A tiene la particularidad de poseer idéntica potencia respecto a las dos circunferencias (líneas rojas)  Potencia de A respecto O1 B  Potencia de A respecto a O2 Buscaremos otros puntos que, al igual que A, también tengan la misma potencia respecto a las dos circunferencias. C O2 O1 D E Observa que todos esos puntos se encuentran situados sobre una misma recta, a la que llamaremos EJE RADICAL DE LAS DOS CIRCUNFERENCIAS que, como hemos visto, contiene puntos de idéntica potencia respecto a dos circunferencias. inicio

EJE RADICAL ¿Cómo podemos hallar en la práctica el eje radical de dos circunferencias? Si las circunferencias son secantes (se cortan) su eje radical pasará por los puntos de corte de ambas circunferencias... Si las circunferencias son tangentes (se tocan sin cortarse) su eje radical pasará por el punto de tangencia y será perpendicular a la línea de unión de los centros de las dos circunferencias... O1 90º O2 O1 O2 ER 1-2 ER 1-2 inicio

Si las dos circunferencias son exteriores (ni tangentes ni secantes) el método para hallar su eje radical es algo más largo. Comprende los siguientes pasos : 1º) Construimos una circunferencia auxiliar cualquiera que corte a nuestras dos circunferencias. 2º) Hallamos el eje radical de la auxiliar con la O1 tal como vimos en la diapositiva anterior. P 90º 3º) Hacemos lo mismo entre la auxiliar y la O2 , encontrando el punto P de corte entre ambos ejes. O2 O1 4º) El eje radical buscado de O1 y O2 será la perpendicular desde P a la línea que una los centros de las dos circunferencias. ER 2-aux ER 1-aux ER 1-2 inicio

CENTRO RADICAL ER 2-3 ER 1-2 C.R. Considerando 3 circunferencias en lugar de 2 podemos encontrar también el lugar desde el cual la potencia resulta idéntica para las 3 circunferencias. Para conseguirlo hallaremos dos EJES RADICALES considerando las circunferencias de dos en dos. Por ejemplo, primero hallamos el eje radical de O1 y O2. O3 ER 2-3 Ahora podemos considerar O2 y O3 para hallar su eje radical.... C.R. El lugar donde se corten ambos ejes será un punto considerado CENTRO RADICAL de las 3 circunferencias. Sabremos que la potencia medida desde ese punto sobre cualquiera de las 3 circunferencias tendrá idéntico valor. O2 O1 Aunque 3 circunferencias conforman 3 ejes radicales, con obtener dos de ellos será suficiente para hallar su centro radical. ER 1-2 inicio

PROBLEMA : (aplicación del concepto de potencia a un problema de tangencias) Dadas las rectas r, s y la circunferencia de centro O, hallar todas las circunferencias posibles que sean tangentes a esos elementos. r O s El problema presenta 4 posibles soluciones..... Dos de ellas son tangentes a la circunferencia O exteriormente (sin encerrarla)... Las otras dos son tangentes a la circunferencia O interiormente (encerrándola)...

1ª parte Primeramente buscaremos los centros de las dos exteriores. Para quitarnos algún dato del problema y conseguir así que sea más fácil su resolución, supondremos una dilatación de las circunferencias que buscamos, en suficiente medida como para reducir a su vez la circunferencia O hasta su mismo centro. O Como puedes, ver el hecho de cambiar unos elementos originales (en línea contínua) por otros dilatados o desplazados de lugar (en discontinua) no cambia en absoluto la situación de los centros de las circunferencias que buscamos. Sin embargo, preferiremos trabajar con dilataciones para así poder convertir un dato original como la circunferencia O en un punto, o sea, su centro, y así solucionar el problema más fácilmente al tener un dato menos en juego. En definitiva...pasamos de tener dos rectas y una circunferencia a dos rectas y un punto. Ahora solucionaremos el problema en sí.

Colocamos los restantes puntos de tangencia... Primeramente sabemos que si las 2 circunferencias que buscamos son tangentes a las dos rectas, sus centros estarán sobre la bisectriz que forman. Ahora hallaremos un punto simétrico de O al otro lado de esta bisectriz, que llamaremos O’. Por una cuestión de simetría, las circunferencias que buscamos no sólo pasarán por O sino también por O’ Dibujaré una circunferencia cualquiera que pase por O y O’ y por tanto con centro en la bisectriz anterior. La línea que une O y O’ es eje radical de todas las circunferencias que pasen por O y O’ y eso incluye también a las soluciones que busco. Por tanto, yo podría lanzar una tangente desde un punto de ese eje radical como el M sobre la circunferencia C que tendría idéntica potencia y por tanto idéntica longitud que las dos circunferencias que buscamos..... Como esa potencia (distancia MT) será también la misma para las dos circunferencias que busco, la trasladaré a ambos lados sobre la recta para así situar los puntos de tangencia que tendrán las soluciones sobre la recta horizontal. Hallamos los centros levantando una perpendicular por T1 y T2 a la recta, encontrando así O1 y O2 sobre la bisectriz.... Para finalizar dibujaremos las 2 circunferencias buscadas, pero no tangentes a estos elementos dilatados (se podría hacer, pero no nos interesa), sino a los que teníamos originalmente.... T5 Colocamos los restantes puntos de tangencia... Centros de las soluciones O1 T4 T6 O c T5 T O2 O’ T6 T3 T2 M T1

Para hallar las restantes 2 soluciones seguiremos el mismo procedimiento. Ahora, para eliminar un dato (circunferencia O) debo contraer las soluciones que busco. Ese movimiento también arrastrará ambas rectas, pero esta vez hacia el interior del ángulo..... r O s

Colocamos los restantes puntos de tangencia... Primeramente sabemos que si las 2 circunferencias que buscamos tocan en las dos rectas, sus centros estarán sobre la bisectriz que forman. Ahora hallaremos un punto simétrico de O al otro lado de esta bisectriz que llamaremos O’. Por una cuestión de simetría, las circunferencias que buscamos no sólo pasarán por O sino también por O’ Dibujaré una circunferencia cualquiera que pase por O y O’ y por tanto con centro en la bisectriz anterior. La línea que une O y O’ es el eje radical de todas las circunferencias que pasen por O y O’ y eso incluye también a las soluciones que busco. Por tanto, yo podría lanzar una tangente desde un punto de ese eje radical como el M sobre la circunferencia C que tendría idéntica potencia y por tanto longitud que las dos circunferencias que estoy buscando..... Como esa potencia (distancia de M a T) será también la misma para las dos circunferencias que busco, la trasladaré a ambos lados sobre la recta para así situar los puntos de tangencia que tendrán las soluciones sobre la recta inferior Hallamos los centros levantando una perpendicular por T1 y T2 a la recta, encontrando así O1 y O2 sobre la bisectriz.... Para finalizar dibujaremos las 2 circunferencias buscadas, pero no tangentes a estos elementos dilatados (se podría hacer pero no nos interesa), sino a los que teníamos originalmente.... Colocamos los restantes puntos de tangencia... T4 T3 T5 O1 O c T6 O2 O’ T T M T T1 T2

INVERSIÓN A’ A O A’ A O O A=A’ B=B’ A’ O A La inversión es una transformación anamórfica (produce deformaciones en las formas originales) basada en el concepto de potencia que vimos anteriormente. Para realizar la inversión de un punto seguiremos las siguientes tres reglas : 2ª Regla: Al producto de distancias OA x OA’ se le llama razón de inversión K. K puede ser positivo o negativo. 1ª Regla: Una pareja de puntos inversos A y A’ y el centro de inversión O se encuentran sobre una misma línea.... 3ª Regla: Se llama circunferencia de puntos dobles (c.p.d.) a la formada por puntos inversos de sí mismos. El radio de esa circunferencia será siempre de valor K 2.1. Si K>0 ambos puntos se encuentran a un mismo lado de O. A’ A O A’ A K O O A=A’ 2.2. Si K<0 entonces O se encuentra entre A y A’. A’ B=B’ O A Pot. de inversión= K x K = K

INVERSIÓN DE UN PUNTO A A’ T T A’ A O O C CASO A: Hallar la inversión de un punto A respecto al centro O cuando el dato es la potencia de inversión K = 9 cm2. (resolveremos por el método sustractivo de Euclides) Si suponemos que la potencia de inversión fuese negativa (K= -9 cm2) sabremos que, a diferencia del problema anterior, O quedará entre A y A´. (resolveremos por el método aditivo de Euclides) T T 3 cm A’ A O A’ A O C 1. Al igual que en el problema anterior, nos basaremos en el Teorema de Euclides para resolverlo, pero ahora los segmentos que se multiplicarán (OA y OA’) se colocarán de manera aditiva (uno a continuación del otro) Levantamos por O un segmento perpendicular al OA y de longitud  K = 3 cm localizando T. r =  K = 3 cm. 1. Dibujamos la circunferencia de puntos dobles (c.p.d.). Su radio será la raíz de la potencia de inversión. 2. Trazamos la semicircunferencia entre O y A y obtenemos T. 2. Construimos la mediatriz entre T y A obteniendo el centro del arco C. Una vez trazado con centro en C y apertura hasta T o hasta A obtenemos el inverso A’. 3. Desde T lanzo una perpendicular a la recta OA obteniendo así el inverso A’. Esto es así porque si recuerdas el tema de potencia observarás que Pot. = OA’. OA= OT2= r2 = 9 Al igual que en el problema anterior Pot. = OA’. OA= OT2 inicio

CASO B: Hallar la inversión de un punto A respecto al centro O cuando el dato es otro punto B y su inversión B’. B B’ O A O A’ 1. Construyo la circunferencia que pase por B, B’ y A. 2. Lanzando una línea desde O hacia A, encontraremos su inverso A’ al cortar nuevamente la circunferencia. Esto es así porque, si recuerdas el tema de potencia, comprobarás que la potencia tiene el mismo valor tanto para A y A’ como para B y B’, ya que pertenecen a una misma circunferencia O. inicio

INVERSIÓN DE UNA RECTA r = r’ O r’ r O A’ r A A C A’ O r’ CASO A: Hallar la inversión de una recta cuyo centro de inversión O está sobre la recta r. CASO B: Hallar la inversión de una recta r cuyo centro de inversión O no esté sobre esa recta y además nos dan un puntos invertido de esa recta ( A y A’). Veamos un ejemplo para cuando K <0 es decir, O se encuentre entre A y su inverso A’. Veamos otro ejemplo pero ahora para un valor de K >0 es decir, A y su inverso A’ se encuentren a un mismo lado respecto al centro O. r = r’ O r’ r O A’ r A A C C A’ O Como sabemos que un punto y su invertido se encuentran alineados también con el centro O, al invertir los puntos de esta recta uno tras otro cambiarían su ubicación pero sobre esa misma recta con lo que la recta no variaría de situación. En este caso la recta coincide con su inversión. r’ Procedemos exactamente igual que en el problema anterior. Primero la perpendicular a la recta r por O. La inversa de una recta es una circunferencia cuyo centro C estará en la perpendicular a r por O. Esa circunferencia también pasará por O y por A’ por lo que construiremos mediatriz entre esos dos puntos. Seguidamente mediatriz entre A’ y O, ya que la circunferencia pasará por esos dos puntos. Continúa... inicio

Dentro de el caso B anteriormente visto, vamos a solucionar un problema de inversión de una recta en el que en vez de dar un punto ya invertido, el dato que se nos ofrece es la potencia de inversión k. Para continuar nos remitiremos a un problema ya visto, es decir, hallar la circunferencia cuyo centro está en la perpendicular a r por O y que además pasa por O y A’. Supongamos un valor de k = -9 cm2. r T A k = 3 r O C A A’ O En primer lugar hallaremos la inversión de un punto cualquiera A de la recta. Sabemos que como k es negativo O quedará entre A y A’. Hallaremos A’ como ya vimos en el apartado de inversión de un punto. C r’ A’ inicio

INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA Recíprocamente a lo que hemos visto anteriormente, si la inversión de una recta es una circunferencia, la de una circunferencia será una recta. Distinguiremos dos casos: cuando el centro de inversión pasa por O y cuando no pasa. CASO A: Hallar la inversión de una circunferencia “r” que pasa por el centro de inversión O si la potencia de inversión vale.... K = 9 cm2 o bien K = -9 cm2 Aplicamos el T. de Euclides por el método sustractivo, por lo que hemos colocado k con centro en O. En este caso aplicaremos el T. de Euclides por el método aditivo, por lo que levantamos k sobre O. T O k=3 T A’ r’ k = 3 C r’ O En la mediatriz de OT estará el centro del arco que me permita hallar el inverso A’ por donde pasará la recta..... r A En la mediatriz de AT estará el centro del arco que me permita hallar el inverso A’ por donde pasará la recta. C A’ A r En ambos casos sabemos que la recta buscada será perpendicular al diámetro que pasa por C y O, que dibujamos previamente. A continuación y aplicando el Teorema de Euclides, hallaremos la inversión de un punto A de la circunferencia perteneciente a ese diámetro. Para ello dibujaremos la circunferencia de puntos dobles (de radio K=3). inicio

CASO B: Hallar la inversión de una circunferencia “r” cuando el centro de inversión O no está sobre ella, si conocemos la inversión de un punto A de dicha circunferencia. Hallar la inversión de una circunferencia “r” cuando el centro de inversión O no está sobre ella, si conocemos el valor de la potencia de inversión K=9 A’ T A’ k=3 A A C’ C O C’ O C r r r’ r’ En primer lugar hallaremos la inversión de un punto A elegido al azar sobre la circunferencia, aplicando el T. de Euclides por el método sustractivo y valiéndonos del valor de K. En este caso sabemos que la circunferencia buscada será homotética de r. Para hallar la circunferencia inversa r’, dibujaremos el radio CA y su paralelo por A’ que nos permita hallar el centro C’ de la que buscamos.... Ahora nos limitaremos a resolver el problema por homotecia, como en el ejemplo anterior... En caso de que para este problema el valor de K hubiese sido negativo la circunferencia invertida r’ la obtendríamos a la derecha de O. inicio

A) Inversión de la curva OB PROBLEMA 1: Hallar la inversión de la figura dada respecto al centro de inversión O, sabiendo que la razón de inversión es K= -9 cm2. B Como el valor de K<0 sabemos que los puntos tendrán su inversión al lado contrario respecto a O. Como norma general, cuanto más cerca esté un punto de una figura del centro O más lejos quedará la inversión de ese punto. De esto deducimos que la solución que buscamos no será una figura cerrada ya que el extremo O, coincidente con el centro de inversión tendrá su inverso en el . A O A) Inversión de la curva OB T Para hallar la recta inversa de la circunferencia primero pasaremos un punto de esa circunferencia que se encuentre sobre el diámetro que pasa por O (es decir, el punto C). B K =3 Hallaremos su inverso C’ por el procedimiento aditivo de Euclides. Así se cumplirá que OC . OC’ = OT2 = K C’ C O A Después consideraremos que la inversa de una circunferencia que pasa por O es una recta perpendicular al diámetro que pasará por O. Por tanto la recta buscada será una perpendicular a la línea CC’ y que pase por C’. Además podremos hallar la inversión de B en B’ directamente pasando por O. La inversión del arco OB siempre dará por debajo de B’ ya que si vamos invirtiendo los puntos del arco OB uno a uno veremos que siempre nosdarán de B'’para abajo y no al revés. De hecho, la inversión de O se encontrará en el infinito por abajo, al coincidir con el centro de inversión. B’ O’ en el 

A) Inversión del segmento AB La inversión de una recta que no pasa por O es una circunferencia cuyo centro está en la perpendicular a esa recta por O y además pasará por B’ y por O por lo que debemos dibujar la mediatriz entre esos dos puntos. Una vez hallado su centro (coincide sobre C’) debemos entender que si queríamos pasar un segmento entre A y B y no la recta entera, su inversa será el arco entre A’ y B’ y no la totalidad de la circunferencia. A’ C’ O A B’ C) Inversión del segmento OA. B La inversión de una recta que pasa por O es otra recta que coincide con ella. O’ en el  A’ Sin embargo, la porción de esa recta que nos interesa (el segmento OA) tendrá su inversión siempre a la izquierda de A’ ya que, como norma general, cuanto más cerca está un punto del centro O más lejos quedará su inversión. De hecho, el extremo O de ese segmento tiene su inversión en el infinito a la izquierda de A’. O A

CONCLUSIÓN Si unimos cada una de las 3 partes (dos segmentos y un arco) hallados anteriormente, tendremos esta figura..... B Consideraremos la superficie invertida la que se encuentre comprendida entre las 3 líneas. El hecho de no ser una superficie cerrada por tener O su inversión en el infinito hace que esa superficie se extienda también hacia el infinito hacia la izquierda y hacia abajo O’ en el  A’ O A B’ O’ en el 

Ahora invertimos la segunda circunferencia... PROBLEMA 2 Hallar la inversión de la zona rayada comprendida entre dos circunferencias secantes “c” y “d”, considerando la razón de inversión K= -9 cm 2 En primer lugar hallaremos la inversión del segundo punto de intersección (aparte de O) entre dichas circunferencias. Llamaremos a este punto A, hallando su inverso A’ por el procedimiento aditivo de Euclides c d A En segundo lugar lugar sabemos que la inversión de una circunferencia sobre la que se encuentra el centro de inversión será una recta perpendicular al diámetro de dicha circunferencia y que pase por O.Como además sabemos que esa circunferencia pasa por A, su inversa pasará por A’... K=3 O Ahora invertimos la segunda circunferencia... Si observas, hemos elegido en la inversión las semirrectas por debajo de A’, ya que si el punto más alejado de la zona rayada a invertir es A, entonces el más cercano de la zona invertida será A’, para mantener constante el producto OA x OA’ A’ d’ c’ Por un razonamiento semejante, si halláramos la inversión de cualquier punto del interior de la zona rayada, al estar más cercano a O que el punto A, por el contrario, su inverso estará más lejano de O que el punto A’. Por tanto la zona rayada tendrá su inversión bajo las rectas c’ y d’.

PROBLEMA 3 Hallar las circunferencias que sean tangentes a otra y a una recta, si además se pide que pasen por un punto exterior P. PLANTEAMIENTO: Una de las características de las inversiones es que conservan la relación entre elementos gráficos antes y después del proceso de inversión. Hemos dibujado la solución de este problema para que compruebes que si resulta tangente a rectas, a circunferencias o pasa por un punto determinado, seguirá siendo tangente o pasando por esos mismos elementos una vez invertidos. O Si consideramos centro de inversión el punto O , de manera que transforme un dato (circunferencia) en otro de los datos (recta), al hallar respecto a ese centro la inversión de P también pasará la solución por P´... P’ P Ahora tenemos para resolver nuestro problema más datos de los necesarios: una recta, una circunferencia y dos puntos. Por tanto podremos prescindir de uno y, puestos a elegir prescindiremos de la circunferencia con lo que ahora tendré dos puntos y una recta, problema que podremos solucionar por el método de potencia (mucho más fácil) P P’

Centro solución La solución buscada tiene su centro sobre la mediatriz entre P y P´ya que pasará por esos dos puntos... P’ P P P’ Centros soluciones También sabemos, que para cualquier circunferencia que pase por P y P´, su eje radical será la línea que une esos dos puntos. El centro radical M, nos valdrá para trazar una tangente a cualquier circunferencia arbitraria que yo pueda dibujar y que pase por P y P´. La medida de esa tangente (potencia) la trasladaré a ambos lados de M sobre la recta. M O2 P P’ M T1 T2 Los centros buscados se encontrarán en la vertical lanzada desde T1 y T2 al interceptar la línea de centros O1