Estructura de la Materia Quinta Sesión La vieja teoría cuántica (2)

Postulados del Modelo de Bohr Postulado 1 (o de Rutherford): “El átomo consta de una parte central llamada núcleo en la que se encuentra localizada la carga positiva, así como, la casi totalidad de la masa. En torno a este núcleo central y a una gran distancia de él giran los electrones en órbitas circulares.” 2

Postulado 2 (De la cuantización del momento angular del electrón): “El momento angular del electrón está cuantizado, de tal manera que de las infinitas órbitas dadas por la ecuación  solo son posibles aquellas en las que su momento angular es un múltiplo entero de h/2π (ħ)” 3

Postulado 3 (De la cuantización de la energía): Cuando el electrón se encuentra en órbita permitida no irradia energía. Se vale pasar de una órbita permitida a otra en cuyo caso, el gasto de energía será ΔE = Ef – Ei = h 4

Hidrógeno E1 = - 13.6 eV E2 = - 3.4 eV E3 = - 1.51 eV 5

Niveles de Energía 6

Niveles de Energía y Radio 7

Niveles de Energía (3) Estado base o basal: el de menor energía. Estados excitados: el resto. 8

Hidrogenoides He+ Z = 2 E1 = - 22/12 (13.6 eV) = -54.4 eV 9

Energía de Ionización Primera energía de ionización: X(g)  X+(g) + e- 10

Teorema de Koopmans (EI)n = - En Tjalling C. Koopmans: Premio Nobel de Economía 1975. 11

Comentario a la segunda parte del 3er postulado 12

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (2) 13

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (3) 14

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (4) RH – Constante de Rydberg RH = 109,677.581 cm-1 15

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (5) Frecuencia de la radiación electromagnética en los espectros 16

Espectros 17

Absorción y Emisión 18

Átomo de H 19

Espectro de Emisión del H 20

Limitaciones Si el modelo de Bohr se quiere aplicar a átomos que no son hidrogenoides, las frecuencias de los espectros dan mayores a las experimentales (se necesitaría una constante de Rydberg para cada átomo). 21

Tarea 10 Encuentre la longitud de onda de la línea espectral que corresponde a la transición de n = 6 a n = 3 para el ión F8+ ¿Cuáles son los potenciales de ionización de los estados n = 6 y n = 3 ¿Cuál es la diferencia de energía entre estos dos estados? 22

Tarea 11 ¿Qué queremos expresar cuando decimos que la energía de un electrón en un átomo está cuantizada? 23

Tarea 12 ¿Cuál sería el número máximo de líneas de emisión del átomo de Hidrógeno si solamente existieran los 6 primeros niveles de energía? 24

Tarea 13 ¿Cuál es la máxima frecuencia de la serie Paschen? 25

Tarea 14 ¿De qué nivel parte un electrón del Hidrógeno que produce una radiación de 4340.5 Ǻ correspondiente a la serie Balmer? 26

Tarea 15 ¿Qué energía se requiere para ionizar el electrón del He+ cuando se encuentra en la órbita n = 6? 27

Tarea 16 Indique el color de la luz emitida cuando el electrón del átomo de Hidrógeno desciende de la quinta a la segunda órbita. 28

Tarea 17 Calcular el radio de la órbita y la energía del electrón para la primera órbita del Li2+. 29

La Teoría Cuántica Moderna Antecedentes

Hipótesis de De Broglie Príncipe Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987). Premio Nóbel en 1929. En 1924: 31

Hipótesis de De Broglie (2) Planck E = h Ondas Einstein E = mc2 Partículas Para la luz: h = mc2 h = mcc = pfc pf – momento de un fotón 32

Hipótesis de De Broglie (3) λ = c/ = h/p λ = h/p 33

Hipótesis de De Broglie (4) Para cualquier partícula: p = mv Longitud de onda de De Broglie Longitud de onda asociada a una partícula 34

Hipótesis de De Broglie (5) La teoría de los cuanta de Einstein es más general es decir, no solo la luz tiene propiedades particulares y ondulatorias, sino que cualquier partícula tiene asociada una onda. Cualquier objeto en movimiento, no importa su masa, tiene asociada una longitud de onda dada por la ecuación de De Broglie. 35

Las partículas se difractan Clinton Davisson and Lester Germer. Premio Nóbel en 1937. En 1927: difracción de electrones. 36

Las partículas se difractan (2) Condición de difracción: λ ~ d 37

Partícula Masa [g] Velocidad [cm seg-1] λ [Ǻ ] e- (1 volt) 9.110-28 5.9107 12 e- (100 volt) 5.9108 1.2 e- (104 volt) 5.9109 0.12 p+ (100 volt) 1.6710-24 1.38107 0.029 α (100 volt) 6.610-24 6.9106 0.015 α (de Ra) 1.51109 6.610-5 Bala (.22) 1.9 3.2104 1.110-23 Pelota de Beis 140 2.5103 1.910-24 38

“Dualidad Onda-Partícula” La confirmación de la hipótesis de De Broglie acabó con la polémica de si los electrones y los fotones eran partículas u ondas. Cualquier objeto tiene propiedades de onda (como la λ) y propiedades de partícula (como la masa). 39

Principio de Incertidumbre Werner Heisenberg (1901-1976). Premio Nóbel en 1932. 40

Principio de Incertidumbre (2) Imaginemos el siguiente experimento: Queremos medir la posición de un electrón (al menos su coordenada “x”) con un microscopio hipotético superpoderoso (o sea con ondas). 41

Principio de Incertidumbre (3) Existe un límite en la exactitud con la que se puede determinar la posición de un objeto al interaccionar con una onda: λ ~ tamaño del objeto 42

Principio de Incertidumbre (4) Si el objeto es menor a una λ de la luz usada, no hay cambio en la luz usada si el objeto es movido una distancia menor a una longitud de onda. Por lo tanto, si queremos observar la posición de un electrón muy exactamente, debemos usar longitudes de onda muy cortas. 43

Principio de Incertidumbre (5) Pero cada fotón tiene un momento p = h/λ Una parte de este momento es comunicado al electrón después de la colisión. 44

Principio de Incertidumbre (6) O sea, para poder medir la coordenada x con una precisión de Δx  λ, hemos dado al electrón un momento adicional en la dirección “x” que oscila entre 0 y h/λ: Δpx  h/λ 45

Principio de Incertidumbre (7) 46

Principio de Incertidumbre (8) Por lo tanto, el producto de las incertidumbres en la posición y el momento es: Δpx·Δx  (h/λ)(λ) Relación de Incertidumbre de Heisenberg Δpx·Δx  h 47

Principio de Incertidumbre (9) "The more precisely the POSITION is determined, the less precisely the MOMENTUM is known" 48

Principio de Incertidumbre (10) La Mecánica Clásica se basa en la presunción de que es posible determinar x y p simultáneamente. El momento es necesario para el cálculo de la trayectoria del objeto (su posición en los tiempos futuros) La relación de incertidumbre dice que esto no es posible. 49

Principio de Incertidumbre (11) ¿Es grave esta limitación? Supongamos que nos satisficiéramos con conocer la posición de un electrón en un átomo de 1 Ǻ de diámetro con un 50% de error, o sea 0.5 Ǻ de exactitud. 50

Principio de Incertidumbre (12) Entonces requeriremos un fotón que produzca un cambio mínimo en el momento de: Δpx = h/Δx Δpx = 6.610-27 erg·seg/510-9 cm Δpx = 1.310-18 g·cm/seg 51

Principio de Incertidumbre (13) Dado que la masa del electrón es: me- = 9.110-28 g Y p = mv: Δv = Δp/m Δv = 1.310-18 g·cm·seg-1/ 9.110-28 g Δv = 1.4109 cm/seg 52

Principio de Incertidumbre (14) Que es una velocidad increíblemente grande, de tal manera que el electrón tiene suficiente energía para salirse del átomo. No podemos conocer las trayectorias de los electrones. 53

Principio de Incertidumbre (15) Mas preciso Existe un principio de incertidumbre para cualesquiera dos variables “conjugadas canónicas” 54

Tarea 18 La incertidumbre en la posición de un neutrón que se mueve en línea recta es de 10 Ǻ. Calcular la incertidumbre en: Su momento. Su velocidad. 55

Tarea 19 En un experimento se determinó la posición de un electrón con una incertidumbre de 10-7 cm ¿Cuál es la incertidumbre en su velocidad? 56

Tarea 20 ¿Cuál es la longitud de onda asociada a una bola de nieve de 8.8 g de peso lanzada a una velocidad de 5105 cm/seg? 57

Tarea 21 En un experimento solo se pudo determinar que la velocidad de un electrón se encontraba entre 100 y 1100 cm/seg ¿Cuál es el orden de magnitud de la incertidumbre en su posición? 58

Tarea 22 ¿Por qué no se pueden describir trayectorias para los electrones en un átomo? 59

Tarea 23 Calcular la longitud de onda de un protón que se mueve a una velocidad de 3x103 ms-1. 60

Tarea 24 Calcular la incertidumbre en la posición de un electrón cuya velocidad se conoce con una incertidumbre de 104 ms-1. 61

Tarea 25 Describa un experimento que confirme la hipótesis de De Broglie. 62

Tarea 26 Calcular la frecuencia de un electrón que se mueve a 5x106 ms-1. 63

Chiste Científico Si sabes a que velocidad estás conduciendo, entonces estás perdido