Funciones y Gráficas x  y=f(x)

Concepto de función Una función es una relación entre dos magnitudes o variables numéricas, x e y, que a cada valor de x le hace corresponder un único valor de y. x : variable independiente y : variable dependiente y es función de x Las funciones se expresan habitualmente con letras minúsculas: f, g, h ... x y = f (x) imagen de x mediante la función f f (x) es único para cada valor de x

El camino recorrido por un móvil y el tiempo transcurrido. Ejemplos: El camino recorrido por un móvil y el tiempo transcurrido. Variable independiente: t (tiempo) Variable dependiente: e (espacio) El área de un cuadrado y la longitud de su lado. Variable independiente: l (longitud) Variable dependiente: A (área) El precio de un alambre y su longitud. Variable independiente: l (longitud) Variable dependiente: € (precio) El perímetro craneal de un niño y su edad. Variable independiente: t (edad) Variable dependiente: P (perímetro)

Formas de expresar una función 1. Mediante un enunciado (forma verbal ). 2. Mediante una expresión algebraica: y = f (x) Es la ecuación de la función o una fórmula matemática que relaciona las dos variables. Es la forma más sencilla de obtener la imagen asociada a cada valor de la variable independiente. 3. Mediante una tabla de valores. 4. Mediante una gráfica. La variable independiente se representa en el eje de abscisas y la dependiente, en el eje de ordenadas. La representación en el sistema de ejes cartesianos de todos los pares de valores (x,y) asociados mediante la función, constituyen la gráfica de la misma. Cada eje debe estar graduado en la unidad y en la escala que convenga. Es la forma más cómoda de estudiar las propiedades de una función.

Ejemplo: Expresemos de todas las formas posibles una misma función. 1. Enunciado: “A cada número comprendido entre -3 y 3 se le asocia su cuadrado más su propio valor”. 2. Ecuación: 3. Tabla de valores: x -3 -2 -1 1 2 3 y 6 12 4. Gráfica:

Gráficas que no corresponden a funciones Existen gráficas que no corresponden a la representación de ninguna función, sino de otro tipo de relaciones. Para distinguir unas de otras basta tener en cuenta que, en el caso de las funciones, es condición imprescindible que cada valor de la abscisa tenga asociado como máximo un único valor de la ordenada. Sí es función A cada valor de x le corresponde un único valor de y No es función A x0 le corresponden cuatro valores de la ordenada

Características de las funciones horizontales verticales Dominio de definición Asíntotas Imagen o recorrido Tendencias Puntos de corte con los ejes convexidad concavidad crecimiento decrecimiento constancia Curvatura Monotonía Puntos de inflexión máximo absoluto máximos relativos mínimo absoluto mínimos relativos Extremos Periodicidad par impar superior inferior Simetría Acotación discontinuidad evitable discontinuidad inevitable de salto finito discontinuidad inevitable de salto infinito Continuidad

1. Dominio e Imagen Se llama dominio de definición de una función f al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los que es posible calcular la imagen f(x). Este conjunto se expresa mediante Dom(f) o D(f). Si la función viene dada por unha gráfica, el dominio de definición coincide con los puntos del eje e las abscisas para los cuales la perpendicular que pasa por ellos corta a esa gráfica. El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores de la variable y asociados a algún valor de x a través de la función f. Este conjunto se representa por Im(f), I(f) o f(D). En el caso de que la función venga dada mediante su representación gráfica, la imagen coincide con las alturas u ordenadas alcanzadas por dicha gráfica.

Ejemplo: Indica el dominio y la imagen de la siguiente función. D(f) = I(f) =

D=-{valores de x que anulan el denominador} Cálculo de dominios (1) Funciones polinómicas: D= Ejemlo: D= Funciones racionales (2.1) Cociente de polinomios: D=-{valores de x que anulan el denominador} Ejemplos: D=-{-5} D=-{3}

D={x Є  tales que existe g, y además, g(x)0} (2.2) Otras funciones racionales: D={x Є  tales que existan f y g, y además, g(x)0} D=(0,+) Ejemplo: (3) Funciones irracionales: (3.1) Si n es par: D={x Є  tales que existe g, y además, g(x)0} D=(-2,+) Ejemplos: D=(-,-1)U(1,+ )

D={x Є  tales que existe g}=D(g) (3.2) Si n es impar: D={x Є  tales que existe g}=D(g) Ejemplos: D= D=-{2} (4) Funciones logarítmicas: D=D(g)  {x Є  tales que g(x)>0} D=(2,+) Ejemplo: (5) Funciones exponenciales: D=D(g) D=-{0} Ejemplo:

2. Puntos de corte con los ejes Los puntos de corte con los ejes de una función f son aquellos en los que su gráfica interseca a los ejes de coordenadas. Los puntos de corte con el eje OX son de la forma (a,0). (pueden existir varios para una misma función) Los puntos de corte con el eje OY son de la forma (0,b). (si existe, es único para cada función) Ejemplo: Indica cuáles son los puntos de corte con los ejes que presenta la función dada anteriormente. Puntos de corte con OX : y Punto de corte con OY :

3. Monotonía Sean a y b dos valores del eje de las abscisas, tales que a<b. Una función f es creciente entre a y b cuando al aumentar los valores de la variable independiente x en ese intervalo, también aumentan los valores de la variable dependiente y asociados a los mismos. Una función f es decreciente entre a y b cuando al aumentar los valores de la variable independiente x en ese intervalo, los valores de la variable dependiente y asociados a los mismos disminuyen. Una función f es constante entre a y b cuando la imagen de cualquier valor x de ese intervalo es siempre la mesma.

Observaciones: La monotonía de una función se estudia siempre sobre el eje de las abscisas, de izquierda a derecha, y considerando intervalos abiertos. Una misma función puede presentar varios tipos de monotonía en distintos tramos de su dominio de definición. Ejemplo: Estudia la monotonía de la función dada por la gráfica vista en los ejemplos anteriores. f es creciente en: f es decreciente en: f es constante en:

4. Extremos Se denominan extremos de una función los valores de la variable independiente x en los que la gráfica alcanza una altura máxima o mínima. Una función f presenta un máximo relativo en un punto x = x0 cuando su ordenada asociada, y0, es mayor que las ordenadas de los puntos próximos. Una función f presenta un máximo absoluto en un punto x = x0 cuando su ordenada asociada, y0, es la mayor de todas las ordenadas alcanzadas por la función. Una función f presenta un mínimo relativo en un punto x = x0 cuando su ordenada asociada, y0, es menor que las ordenadas de los puntos próximos. Una función f presenta un mínimo absoluto en un punto x = x0 cuando su ordenada asociada, y0, es la menor de todas las ordenadas alcanzadas por la función.

Observaciones: Los extremos de una función, si existen, son siempre valores de la variable independiente x. Para que un punto x0 sexa extremo es condición imprescindible que la función esté definida en el. A la izquierda de un máximo la función es creciente y a su derecha, decreciente. A la izquierda de un mínimo la función es decreciente y a su derecha, creciente.

Ejemplo: Indica, si existen, cuáles son los extremos de la siguiente función. Máximo absoluto: x = 6 Máximos relativos: x = -3 , x = -2 Mínimo absoluto: No existe Mínimos relativos: x = 3 , x = 4 , x = 8

5. Acotación Una función f está acotada superiormente cuando existe algún número real K mayor o igual que todas las alturas alcanzadas por su gráfica. Ese número K recibe el nombre de cota superior de la función. Ejemplos: f está acotada superiormente Cotas superiores: 5, 6, 15, 1200... f no está acotada superiormente Al aumentar x, la imagen f(x) aumenta indefinidamente

El número K’ recibe el nome de cota inferior de la función. Una función f está acotada inferiormente cuando existe algún número real K’ menor o igual que todas las alturas alcanzadas por su gráfica. El número K’ recibe el nome de cota inferior de la función. Ejemplos: f está acotada inferiormente Cotas inferiores: -3/2, -2, -100... f no está acotada inferiormente Su gráfica alcanza alturas tan pequeñas como se desee.

Una función f se dice acotada si y solo si está acotada superior e inferiormente al mismo tempo. Ejemplos: f está acotada f no está acotada f no está acotada Observación: En el caso de que una función tenga cotas superiores y/o inferiores, el número de estas siempre es infinito.

6. Continuidad Intuitivamente, una función es continua cuando su gráfica puede ser dibujada de un único trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel. Una función es discontinua cuando no es continua. Los puntos x en los que se interrumpe el trazo de la gráfica reciben el nombre de puntos de discontinuidad. Unha función es continua en un intervalo si solamente presenta discontinuidades fuera del mismo.

Inevitable de Salto Finito Inevitable de Salto Infinito Tipos de discontinuidades Inevitable de Salto Finito Inevitable de Salto Infinito

Ejemplo: Estudia la continuidad de la función asociada a esta gráfica. La función f presenta discontinuidades en los siguientes puntos: En x = -1, discontinuidad evitable. En x = 5, discontinuidad inevitable de salto finito (Salto = 6 unidades). En x = 10, discontinuidad inevitable de salto infinito.

7. Asíntotas Se llama asíntota a toda recta imaginaria a la que la gráfica de una función se aproxima cada vez más sin chegar, en general, a cortarla. Es paralela al eje de abscisas Asíntota Horizontal Tipos de asíntotas Ecuación: y = k , con k   Es paralela al eje de ordenadas Asíntota Vertical Ecuación: x = c , con c  

f tiene dos asíntotas horizontales de ecuaciones y = -2 e y = 3 Ejemplos: f tiene dos asíntotas horizontales de ecuaciones y = -2 e y = 3 f tiene una asíntota vertical de ecuación x = 4 f tiene una asíntota horizontal de ecuación y = 5 y otra asíntota vertical de ecuación x = -3

8. Tendencias Estudiar la tendencia de una función f consiste en determinar a qué valor y0 se aproxima la ordenada f(x) cuando la abscisa x se aproxima a un determinado punto x0. Simbólicamente: x  x0  f(x)  y0 ¿Qué significa que “x se aproxima o tiende a un punto x0” ? Escritura Lectura Significado x  x0 x tiende a x0 x toma valores cada vez más próximos a x0, mayores o menores que este x  x0− x tiende a x0 por la izquierda x toma valores cada vez más próximos a x0, pero menores que x0 x  x0+ x tiende a x0 por la derecha x toma valores cada vez más próximos a x0, pero mayores que x0 x  +∞ x tiende más infinito x toma valores cada vez más grandes x  −∞ x tiende menos infinito x toma valores cada vez más pequeños

Ejemplos: x  x0−  f(x)  +∞ x  x0−  f(x)  −∞ x  x0−  f(x)  l

Estudia las tendencias de la siguiente función. Ejemplo: Estudia las tendencias de la siguiente función. x  -4+  f(x)  7 x  -1  f(x)  -2 x  5¯  f(x)  -4 x  5+  f(x)  2 x  10¯  f(x)  +∞ x  10+  f(x)  −∞ x  +∞  f(x)  +∞

9. Curvatura Cuando la gráfica de una función no coincide con una línea recta, se puede estudiar su curvatura, es decir, en qué sentido aparecen “abiertas” las ramas o curvas de que consta la gráfica. Sean a y b dos valores del eje de las abscisas, tales que a<b. Una función f es convexa entre a y b si para cualquier par de puntos de la gráfica correspondiente a ese intervalo, el segmento que los une queda por encima de la misma. Una función f es cóncava entre a y b si para cualquier par de puntos de la gráfica correspondiente a ese intervalo, el segmento que los une queda por debajo de la misma.

Observaciones: La curvatura de una función se estudia siempre sobre el eje de las abscisas, de izquierda a derecha, y considerando intervalos abiertos. Una misma función puede ser convexa en unos intervalos y cóncava en otros. Ejemplo: Estudia la curvatura de la función dada por la siguiente gráfica. f es convexa en: f es cóncava en:

f presenta un punto de inflexión en x = 0 10. Puntos de Inflexión Se llama punto de inflexión a todo valor de la variable independiente x en el que la función cambia su curvatura, es decir, en el que pasa de cóncava a convexa, o viceversa. punto de inflexión Ejemplo: Indica los puntos de inflexión de las siguientes funciones. f presenta un punto de inflexión en x = 0 f no tiene puntos de inflexión, pues x = 10 no pertenece al dominio de definición de la función

11. Periodicidad Una función se dice periódica cuando su gráfica se repite exactamente del mismo modo a medida que la variable independiente x recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo recibe el nombre de período de la función, representándose mediante T. Por lo tanto: f (x) = f (x+T) = f (x+2T) = f (x+3T) = ... Función periódica de período T=2

Ejemplo: Estudia la periodicidad de la siguiente función. f es una función periódica de período T = 5 unidades.

12. Simetría Una función f es par o simétrica respecto del eje de ordenadas cuando la ordenada o altura asociada a cada punto x del dominio coincide con la ordenada del punto opuesto –x. f (–x) = f (x) Una función f es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas cuando la ordenada o altura asociada a cada punto x del dominio es opuesta a la ordenada asociada al punto opuesto –x. f (–x) = – f (x)

Ejemplos: f es una función par f es una función impar

Estudio de las propiedades de una función Ejercicios Estudio de las propiedades de una función mediante su gráfica

Siguiendo el orden visto durante la exposición teórica, estudia las propiedades de cada de las funciones asociadas a las gráficas dadas a continuación. Gráfica 

Gráfica 

Gráfica 

Gráfica 

Gráfica 

Gráfica 

Gráfica 

Gráfica 