Ing. Carlos Cifuentes Cruz Desigualdades Tío condorito Que es una desigualdad? Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Desigualdades Yo me peino con las desigualdades                             Yo me peino con las desigualdades El loro Matías te ayudará con las desigualdades ponle mucha atención Ing. Carlos Cifuentes Cruz

OBJETIVOs Entender la diferencia entre desigualdad e inecuación. Entender y aplicar las propiedades de las desigualdades. Definir valor absoluto y resolver inecuaciones bajo módulo. Resolver inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales. Expresar la solución como intervalos. OBJETIVOs Pero primero los objetivos es importante Anterior Siguiente Ing. Carlos Cifuentes Cruz Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz Una desigualdad es un enunciado que compara dos números o dos expresiones algebraicas. Utilizamos simbolos: >; <; ≥; ≤ Una inecuación es un predicado o desigualdad condicionada y resolverla significa encontrar los valores que la transformen en una proposición verdadera. Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz DEFINICION: Dos desigualdades del tipo: a > b, c > d a <b, c < d Se denominan desigualdades del mismo sentido. Mientras que dos desigualdades del tipo: a > b y c < d se denominan desigualdades de sentido contrario. Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz Definición: a,bR a >b si a – b > 0 a < b si a – b < 0 Axioma de tricotomía: a,bR una y solo una de las siguientes proposiciones es VERDADERA: (i) a > b (ii) a = b (iii) a < b Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz Propiedades: a,b,cR Si a > b, entonces b < a Si a > b y b > c, entonces a > c Dos desigualdades de la forma: a < b y b < c pueden ser unidas en una doble desigualdad; a < b < c o tambien a > b y b > c es equivalente a a > b > c. 4. Si a > b, entonces a + c > b + c Ing. Carlos Cifuentes Cruz

5. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc. 6. Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d 7. a > 0 si y solo si -a < 0 a > b si y solo si -a < -b Si a > b y c < 0 entonces ac < bc Si a ≠ 0, entonces a2 > 0 Si a > 0 si y solo si > 0 Está bacán hasta este despistado me está entendiendo ¿Quién? ¿Quién? ¿yooo? Si yo no fui ……. Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz 12. Si a  b  c  0 entonces  13. Si a  b y c  0, entonces  Si a  b  c  0, entonces  Las propiedades 5 y 9 anteriores, muchas veces se expresan diciendo que si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por una cantidad positiva, el sentido de la desigualdad se conserva, mientras que si se multiplican por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. Tener muy en cuenta esto. Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz Observaciones xIR: x > 0,  > 0 x,y IR : x > y > 0   x,y IR :  x > 0  y > 0 x  y   x  y  x2  y2 x  y  x  y Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Operaciones con desigualdades Suma: Dos o varias desigualdades del mismo sentido se pueden sumar miembro a miembro, como resultado se obtendrá una desigualdad del mismo sentido. a  b c  d m  n ============ a + c + m  b + d + n Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz Diferencia Las desigualdades de sentido contrario se pueden restar miembro a miembro, y la diferencia resulta una desigualdad del mismo sentido del minuendo. a  b c  d ======= a – c  b - d Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz Producto: Dos o varias desigualdades de igual sentido se pueden multiplicar entre sí todos sus miembros son positivos, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo sentido. a  b c  d Si a  0, b  0, c  0 y d  0 ====== ac  bd Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz División: Dos desigualdades de sentido contrario se pueden dividir miembro a miembro si todos los miembros de la desigualdad son positivos, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo sentido que desigualdad dividendo. Si a > c b < d (b > 0  c > 0 ) _______ Entonces: > Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz INTERVALOS Un intérvalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Inecuación elemental de la forma: p(x): x  a En este caso se dice que a es el límite inferior ( extremos, cota, valores críticos ) de los valores de la variable. Quiere decir que cualquier número mayor que el número a es miembro del conjunto solución de la inecuación. Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz INTERVALOS Intervalo abierto de extremos a y b al conjunto: (a,b)={x/ a < x < b}, a y b no pertenecen al conjunto solución y son puntos blancos en el gráfico. Intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto: [a,b] = {x/ a  x  b }, a y b pertenecen al conjunto solución y son puntos negros en el gráfico. Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Representar gráficamente: 2 < x < 5 Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Intervalos semiabiertos Por la izquierda: (a,b] = {x/ a < x  b} a es un punto blanco y b es un punto negro. Por la derecha: [a,b) = {x/ a  x < b} a es un punto negro y b es un punto blanco. Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz Intervalos infinitos Llamaremos intervalos infinitos a los conjuntos siguientes: a  x; equivale a (a,+) equivale a x  a; equivale a (-∞, a) x  a; equivqle a (-∞, a] xIR, equivale a (-∞, +∞) Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz Valor Absoluto Sea x, el valor absoluto de x es denotado por, |x|, y definido por: Ing. Carlos Cifuentes Cruz

INTERPRETACIÓN DEL VALOR ABSOLUTO |x-y| se interpreta como la distancia del punto x al punto y en la recta numérica (fig. 13), mostrada a continuación: Ing. Carlos Cifuentes Cruz

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 1. 2. 3. 4. 5.  6. 7.    Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Ing. Carlos Cifuentes Cruz 8.    x  siempre que 9. Siempre que 10. “ 0 11. Siempre que 12. 13. Desigualdad triangular 14. 15.      Ing. Carlos Cifuentes Cruz

INECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Inecuación de la forma: |x| > a (i) Si a < 0 entonces esta inecuación es verdadera para x. Si a = 0 entonces la inecuación es verdadera  x ≠ 0. Si a > 0, entonces x > a ó x < -a. Si |x - b| > a, si a > 0, entonces x > a + b  x < b - a Ing. Carlos Cifuentes Cruz

Inecuación de la forma |x| < a Si a < 0, entonces el conjunto solución es el conjunto vacío. Si a = 0, entonces el conjunto solución es el conjunto vacío. Si a > 0, entonces el conjunto solución es un solo intervalo: -a < x < a Ing. Carlos Cifuentes Cruz