MÉTODO GRAN “M” MARLON DAVID AMAYA ROLDAN LEIBY JINETH LANCHEROS CURREA JOHANN MARCEL REYES PEÑA LAURA MICHEL RUBIO RENGIFO YULIED VILLANUEVA CARVAJAL

MÉTODO DE LA GRAN “M” Es una variante del método simplex que puede aplicarse a problemas No Canónicos (arbitrarios), cuya F.O. puede ser minimizar o maximizar

MÉTODO DE LA GRAN “M” Este método consiste en penalizar la presencia de variables artificiales, mediante la introducción de una constante “M” definida como un Valor MUY GRANDE o MUY PEQUEÑO pero finito.

COMO TRABAJA GRAN “M”? La primera solución básica del método Símplex debe incluir todas las variables artificiales que fueron necesarias en el arreglo del modelo de programación lineal. Las variables artificiales se utilizan para tomar la primer solución básica.

COMO TRABAJA GRAN “M”? A medida que se cumplen las etapas de cálculo en el simplex, las variables artificiales deberán ir saliendo de la misma, gracias al tamaño del coeficiente ‘M’ Si se presenta el caso que las variables artificiales no se logren sacar de la base y por lo tanto se anulen, ello significará que tal problema NO tiene solución factible

LO QUE SE DEBE SABER.. VARIABLES DE HOLGURA: Son las que se agregan o suman a las desigualdades de < . Pueden tomar valor en la solución óptima del problema, indicando que existen unidades disponibles de un recurso determinado

LO QUE SE DEBE SABER.. VARIABLES ARTIFICIALES : Son las variables que se suman o agregan a las desigualdades de > y a las igualdades (=). Son un artificio matemático que sirve para completar la matriz identidad. No pueden tomar valor en la solución óptima y cuando esto sucede, la solución se llama INCONSISTENTE.

LO QUE SE DEBE SABER.. VARIABLES DE EXCEDENTE Son las variables que se restan a las desigualdades de > , pueden tomar valor en la solución óptima, indicando la cantidad adicional que se está utilizando de un recurso mínimo determinado. Penalizar las variables artificiales a manejar en la función objetivo; esto, con el objeto de tratar de asegurar que dichas variables no aparezcan en la solución final del problema.

LO QUE SE DEBE AGREGAR.. Menor para una variable de holgura Igual para una variable artificial Mayor para una variable excedente más una variable artificial Se agregan variables como se indica y se penalizan las variables artificiales en la F.O., asignando una “M” Se utiliza Simplex para quitar las M de la columna artificial, así se logra una solución básica inicial

TIPS CLAVES EN GRAN “M” Plantear el problema matemáticamente Igual para una variable artificial Desarrollar el modelo matemático obtenido en su forma estándar Transformar las desigualdades (” puede ser llevada a una ecuación de igualdad “=” usando una (nueva) variable de Exceso(negativa) y con un coeficiente nulo (0) en la F.O.

TIPS CLAVES EN GRAN “M” Un valor muy grande positivo para los casos de minimizar. Un valor muy grande negativo para los casos de maximizar. Elaborar la Tabla Simplex, vaciar los datos correspondientes y determinar la SOLUCIÓN INICIAL BÁSICA.

VENTAJA Muy útil para resolver problemas con diferentes clases de símbolos < = > y/o con muchas restricciones. DESVENTAJA La desventaja de la técnica M es el posible error de cómputo que podría resultar de asignar un valor muy grande a la constante M. Esta situación podría presentar errores de redondeo.

AHORA UN PROBLEMA PARA ILUSTRAR.. La empresa siderúrgica ACESCO fabrica aleación de acero inoxidable tipo dúplex que consta en su etapa inicial de dos componentes fundamentales: mineral de hierro y cromo, dispone de un horno con capacidad de producción de hasta 6 toneladas semanales para el cual por requisitos de calidad debe ser cargado con el 50% de los dos materiales y al total de su capacidad.

AHORA UN PROBLEMA PARA ILUSTRAR.. Vale la pena aclarar que la mínima cantidad a producir semanalmente deben ser 6 toneladas de acero las cuales deben contar con el 60% del mineral de hierro y el 40% de cromo según especificaciones técnicas. Así mismo las directivas han dispuesto de 2,7 millones de dólares para la compra anual de los minerales directo de minas extranjeras.

AHORA UN PROBLEMA PARA ILUSTRAR.. Sin embargo de esa compra anual, mínimo el 30% del mineral de hierro y el 10% del mineral de cromo deben ser de alta pureza para garantizar la calidad óptima del acero inoxidable. La junta directiva desea minimizar los costos de los minerales, teniendo en cuenta que la planta solo cuenta con capacidad para almacenar 40% de hierro y 50% de cromo.

DEFINICIÓN DE VARIABLES Analizando la situación diremos que las variables serán la cantidad de toneladas necesarias para fabricar la aleación y serían las siguientes: X1 = Toneladas de mineral de hierro a utilizar en la aleación. X2 = Toneladas de Cromo a utilizar en la aleación. .

FUNCIÓN OBJETIVO MINIMIZAR Z: 0,4XI + O,5X2 El problema que tiene la siderúrgica consiste en determinar la cantidad en toneladas de mineral de hierro y cromo que debe comprar para utilizar en la aleación, al menor precio posible y de esta forma minimizar los costos, así que la función objetivo sería: MINIMIZAR Z: 0,4XI + O,5X2 .

RESTRICCIONES 0,5X1 + 0,5X2 = 6 0,6X1 + 0,4X2 ≥ 6 Restricción N° 1 : capacidad del horno; según la cantidad de mineral para el caso 50% hierro y 50% cromo: 0,5X1 + 0,5X2 = 6 Restricción N° 2 : restricción de producción; la mínima cantidad a producir serán 6 toneladas y según especificaciones técnicas estarán compuestas por 60% de hierro y 40% de cromo 0,6X1 + 0,4X2 ≥ 6

RESTRICCIONES 0,3X1 + 0,1X2 ≤ 2,7 X1, X2 ≥ 0 Restricción N° 3 : restricción financiera; las directivas cuentan con US$ 2,7 para invertir en la importación de los minerales pero el 30% del hierro y el 10% del cromo tendrán que ser minerales de alta pureza por temas de calidad 0,3X1 + 0,1X2 ≤ 2,7 Restricción N° 4 : restricción de no negatividad X1, X2 ≥ 0

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 1: Convertir las desigualdades de las restricciones en igualdades MINIMIZAR Z: 0,4X1+ O,5X2 0,5X1 + 0,5X2 = 6 0,6X1 + 0,4X2 = 6 0,3X1 + 0,1X2 = 2,7

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 2: Variables que deben agregarse en las restricciones MINIMIZAR Z: 0,4X1+ O,5X2 = → +R ≥ → +R, -S ≤ → +S

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 3: Variables que deben agregarse en las restricciones MINIMIZAR Z: 0,4X1+ O,5X2 0,5X1 + 0,5X2 + R1 = 6 0,6X1 + 0,4X2 + R2 - S1 = 6 0,3X1 + 0,1X2 + S2 = 2,7

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 4: Asignar un penalización M como coeficiente de cada variable artificial en la función objetivo MIN = +M MAX = -M MINIMIZAR Z: 0,4X1+ O,5X2 MIN Z: 0,4X1 + O,5X2 + MR1 + MR2

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 5: Definir las variables básicas y no básicas. Se usan las variables artificiales como solución básica factible para las restricciones de tipo ≥ e = MIN Z: 0,4X1 + O,5X2 + MR1 + MR2

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 6: Expresar la función objetivo en términos de variables básicas con base en las restricciones y despejar Despejando R1 y R2 tenemos: 0,5X1 + 0,5X2 + R1 = 6 0,6X1 + 0,4X2 + R2 - S1 = 6 R1 = 6 – 0,5X1 – 0,5X2 R2 = 6 – 0,6X1 – 0,4X2 + S1 MIN Z: 0,4X1 + O,5X2 + MR1 + MR2

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 7: Expresar la función objetivo en términos de variables básicas con base en las restricciones y despejar Sustituyendo en la función objetivo: Z = 0,4X1 + O,5X2 + M(6 – 0,5X1 – 0,5X2) + M(6 – 0,6X1 – 0,4X2 + S1) Realizando las operaciones algebraicas se obtiene: Z – (0,4 – 1,1M)X1 – (0,5 – 0,9M)X2 – S1 = 12M

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 8: Plantear la tabla básica inicial, en la columna van las variables del ejercicio y en las filas la función objetivo y las restricciones

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 9: Se selecciona la variable de entrada correspondiente a la condición optima, si es MIN se selecciona la variable No básica más positiva

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 10: Seleccionar la variable de salida correspondiente a la condición de factibilidad, columna solución ÷ entre los valores de la columna entrada

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 11: Se elige la fila en donde el resultado es el más pequeño de la columna solución

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO PASO 12: Se calcula la ecuación pivote dividiendo la fila pivote entre el elemento pivote ECUACIÓN PIVOTE

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO : Se multiplica por el factor pivote según corresponda en cada variable

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO : Se calcula la ecuación pivote dividiendo la fila pivote entre el elemento pivote

RESOLUCIÓN GRAN “M” PASO A PASO : Se confecciona la nueva tabla con los resultados obtenidos en cada variable para realizar una nueva iteración repitiendo el procedimiento hasta encontrar la solución óptima

RESOLUCIÓN GRAN “M” SOFTWARE ONLINE ATOZMATH.COM

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RESOLUCIÓN GRAN “M” SOFTWARE ONLINE ATOZMATH.COM Observamos que el resultado por el método de la gran M resuelto por Atoz nos indica que: Min Z = 4,7 X1 = 8 X2 = 3 US$ 4,7 millones es el resultado de la minimización queriendo decir que ese valor es el mínimo que tendrá que invertir en el año para lograr la producción según las restricciones planteadas, comprando 8 toneladas de mineral de hierro y 3 toneladas de cromo. Ahora compararemos con el resultado en método Simplex:

RESOLUCIÓN PHP SIMPLEX

RESOLUCIÓN PHP SIMPLEX

RESOLUCIÓN PHP SIMPLEX

MÉTODO GRÁFICO PHP SIMPLEX

MÉTODO GRÁFICO PHP SIMPLEX

CONCLUSIONES Observamos que el resultado por Simplex y método gráfico nos indica que: Min Z = 5,25 X1 = 7,5 X2 = 4,5 Eso quiere decir que deberían gastarse US$ 5,25 millones para lograr la producción según las restricciones planteadas, comprando 7,5 toneladas de mineral de hierro y 4,5 toneladas de cromo. Existe una diferencia bastante significativa entre el método de la gran “M” y el método Simplex, ya que gran “M” brinda una solución más optima que Simplex que nos da una solución optima pero no la mejor para este caso.

CONCLUSIONES Gracias a este ejercicio podemos concluir que el método de la gran “M” nos sirve para optimizar de mejor manera problemas en donde se presentan mezclas de signos < = >, encontrando la solución más optima con respecto a otros métodos como el gráfico o el Simplex que únicamente nos muestran una de las soluciones más factible nada más. También es muy útil en los casos en que los problemas cuentan con muchas restricciones, ya que al ser la dimensionalidad del problema muy amplia o extensa, este método trabaja con un mejor nivel de precisión que los anteriormente vistos. Tiene la desventaja que no funciona adecuadamente con problemas con restricciones únicamente de tipo <.