Clase 8: Contraste de Hipótesis Bibliografía: . Pardo y San Martín, Cap 3. . Ficha Estadística Inferencial.

Media y Varianza Muestrales como Variables Aleatorias µ y σ son propiedades numéricas constantes para los individuos de esta población Ingreso: µ : 2500 σ : 300 N : 100.000 N: 50 N: 50 Media: 2450, S: 245 N: 50 N: 50 Media: 2295, S: 308 Media: 2500, S: 321 Media y S son variables aleatorias N: 50 N: 50 Media: 2599, S: 225 Media: 2502, S: 237 Media: 2150, S: 301

Distribución Muestral de la Media Teorema del Límite Central: La distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución normal cuando la cantidad de variables es lo suficientemente grande (n > 30) . X ~ N (µ, σ/√n) X - µ ≈ N (0,1) σ/√n σ /√n µ

Estadística Inferencial Objetivo General: extraer conclusiones de tipo general a partir de un número finito de casos (generalizar desde la muestra a la población). Inferencia Estadística: Estimación de Parámetros. Contraste de Hipótesis Un contraste de hipótesis es un proceso de decisión en el que una hipótesis científica formulada en términos estadísticos es puesta en relación con los datos empíricos para determinar si es o no compatible con ellos.

Contraste de Hipótesis Ej. Hasta el momento los estudios indican que la media poblacional de los adolescentes en el CI es de 105, con desvío poblacional de 5. 1. Determinar la variable aleatoria X= Puntaje obtenido en el CI en los adolescentes. 2. Formular estadísticamente la hipótesis científica que se desea contrastar – Obtener la Hipótesis Estadística. Una hipótesis científica puede ser formulada en términos de la forma de una distribución poblacional, o en términos del valor de un parámetro de esa población.

Si se especifica la fórmula… Ej. Hasta el momento los estudios indican que la media poblacional de los adolescentes en el CI es de 105, con desvío poblacional de 5. “La media del CI en adolescentes cambió” H0: μ = μ0 o μ - μ0 = 0 Hi: μ ≠ μ0 o μ - μ0 ≠ 0 Si se especifica la fórmula… H0: μ = 105 o μ - 105 = 0 Hi: μ ≠ 105 o μ - 105 ≠ 0 Contraste Bilateral Suponiendo que la Ho esté en lo correcto, es decir, suponiendo la nulidad de diferencias… μ = μ0

H0: μ = 105 o μ - 105 = 0 Hi: μ ≠ 105 o μ - 105 ≠ 0 Contraste Bilateral Suponiendo que la Ho esté en lo correcto, es decir, suponiendo la nulidad de diferencias… μ = μ0 3) Buscar evidencia empírica relevante y establecer el nivel de significación: Se realiza una muestra de 36 sujetos y se obtiene en un grupo de adolescentes un CI medio de 111 ¿Cuán probable es sacar una muestra con media 111 de una población con media 105? ¿Esta diferencia es por error de muestreo, o es lo suficientemente grande como para pensar que el parámetro no es 105? μ = 105 X = 111

E = X - µ ≈ N (0,1) σ / √n E = X - 105 ≈ N (0,1) 5 / √36 H0: μ = 105 o μ - 105 = 0 Hi: μ ≠ 105 o μ - 105 ≠ 0 Contraste Bilateral μ = μ0 4) Indicar el estadístico de contraste y su distribución bajo la H0 E = X - µ ≈ N (0,1) σ / √n E = X - 105 ≈ N (0,1) 5 / √36 Un estadístico de contraste es un resultado muestral (una variable aleatoria) que proporciona información empírica relevante sobre la afirmación propuesta por la H0, y posee una distribución muestral conocida. Los supuestos son un conjunto de afirmaciones sobre la muestra y la población que necesito establecer para conocer la distribución de muestreo del estadístico. En este caso: Muestra aleatoria. Varianza poblacional σ2 conocida. Variable aleatoria normal o n > 30.

Nivel de Significación α H0: μ = 105 o μ - 105 = 0 Hi: μ ≠ 105 o μ - 105 ≠ 0 Contraste Bilateral μ = μ0 α / 2 α / 2 Nivel de Significación α Es la probabilidad de cometer un Error de tipo I (Rechazar la H0 cuando esta era verdadera) Lo establece el investigador, generalmente en 0.1, 0.05 o 0.01. Es el riesgo máximo que estamos dispuestos a tomar al rechazar una H0 5) Establecer una Regla de Decisión: Si el resultado muestral observado es, suponiendo correcta la Ho, muy poco probable, consideramos que esta es incompatible con los datos, si el resultado muestral es, suponiendo correcta la Ho, probable, consideramos que los datos son compatibles con ella.

Nivel de Significación α: 0.05 H0: μ = 105 o μ - 105 = 0 Hi: μ ≠ 105 o μ - 105 ≠ 0 Contraste Bilateral μ = μ0 α / 2 Nivel de Significación α: 0.05 5) Establecer una Regla de Decisión: Estableciendo el α: 0.05, los puntos críticos (en este caso z críticos) estarán situados en zα / 2 y z1 - α / 2 Regla de Decisión: Se rechaza la H0 si el E es < zα / 2 o E > z1 - α / 2 Rechazo la H0 si E es < z0.025 o E > z0.975 E es < -1,96 o E > 1.96 lEl > 1,96 De esta manera se particiona la distribución de muestreo del estadístico en dos zonas, la zona de rechazo y la zona de aceptación.

En nuestro caso el p < 0.0001 6) Calcular el estadístico de contraste: E = 111- 105 = 7,2 5 / √36 7) Tomar una decisión y concluir en términos del problema científico planteado: Debido a que 7,2 > 1,96, se decide rechazar la H0, y se concluye que la media del CI de esta muestra fue significativamente mayor al parámetro propuesto, al nivel del 5%. μ = μ0 α / 2 α / 2 El p valor o nivel crítico es la probabilidad de encontrar, suponiendo la Ho verdadera, el valor del estadístico encontrado o más extremo. En nuestro caso el p < 0.0001

Si se especifica la fórmula… Ej. Hasta el momento los estudios indican que la media poblacional de los adolescentes en el CI es de 105, con desvío poblacional de 5. “La media del CI en adolescentes aumentó” H0: μ = μ0 o μ - μ0 = 0 Hi: μ > μ0 o μ - μ0 > 0 Si se especifica la fórmula… H0: μ = 105 o μ - 105 = 0 Hi: μ > 105 o μ – 105 > 0 Contraste Unilateral Derecho μ = μ0 α Regla de Decisión: Rechazo la H0 si E > Z1-α Rechazo la H0 si E> Z 0.95 Rechazo la H0 si E > 1.65

Si se especifica la fórmula… Ej. Hasta el momento los estudios indican que la media poblacional de los adolescentes en el CI es de 105, con desvío poblacional de 5. “La media del CI en adolescentes disminuyó” H0: μ = μ0 o μ - μ0 = 0 Hi: μ < μ0 o μ - μ0 < 0 Si se especifica la fórmula… H0: μ = 105 o μ - 105 = 0 Hi: μ < 105 o μ – 105 < 0 Contraste Unilateral Izquierdo μ = μ0 α Regla de Decisión: Rechazo la H0 si E < Zα Rechazo la H0 si E < Z 0.05 Rechazo la H0 si E < -1.65

Pasos para Realizar los Ejercicios: Mencionar la/s variables/s de interés en la población respecto de la cual se desea hacer inferencia estadística y explicitar los supuestos mínimos necesarios para efectuar el contraste. Plantear las hipótesis estadísticas. Elegir el nivel de significación. Indicar el estadístico de contraste adecuado y explicitar su distribución de muestreo. 5) Determinar la regla de decisión. 6) Calcular el valor observado de estadístico de contraste. 7) Tomar la decisión y concluir en términos del problema científico.

Ejercicio Modelo I (pág. 73): X= Puntaje que obtendrían en el test de actitudes hacia la matemática los estudiantes de la escuela de arte si se implementara el programa. Supuestos: Muestra aleatoria. Muestra > 30 Varianza poblacional σ2 conocida. 2) H0 : µ = 43 H1: µ > 43 Contraste Unilateral Derecho 3) α: 0,05 4) E = X - 43 ≈ N (0,1) 9 / √36 μ = μ0

5) Regla de Decisión: Se rechaza la H0 si y sólo si el E > z0,95 = 1,645 6) E = 46 - 43 = 2 9 / √36 7) Como 2 > 1,645 se rechaza la H0, por lo que se concluye a un nivel del 5% que el programa sería eficaz ya que los puntajes de actitud hacia la matemática aumentarían en promedio si se aplicara el programa.

Consecuencias de un Contraste H0Verdadera H0 Falsa Mantener H0 Decisión Correcta P = 1 - α Error de Tipo II P = β Rechazar H0 Error de Tipo I P = α P = 1 – β Potencia del contraste

α β 1 - α 1 - β n  ↓ = Para poder bajar α (ponernos más exigentes) sin que esto aumente β y por ende disminuya la potencia de la prueba (1 – β) hay que aumentar el tamaño de la muestra.

Distribución T de Student. Ejercicio 4 (pág. 83): X= Volumen de Ventas. Supuestos: Muestra aleatoria. Variable Aleatoria Normal Varianza poblacional σ2 desconocida. 2) H0 : µ = 2150 H1: µ ≠ 2150 Contraste Bilateral 3) α: 0,05 4) E = X - 2150 ≈ t α/2; gl 80 / √9 μ = μ0 α / 2 Distribución T de Student.

Cuando el valor de n se hace suficientemente grande se puede tener en cuenta que el limite de la distribución t de Student, cuando n tiende a infinito es la  distribución N(0, 1)

5) Regla de Decisión: Se rechaza la H0 si y sólo si el lEl > t1-0.025, 9-1 = 2,306 6) E = 2080 - 2150 = -2,625 80 / √9 7) Como 2,625 > 2,306 se rechaza la H0, por lo que se concluye a un nivel del 5% estos datos no son consistentes con lo afirmado el gerente. No sería recomendable aceptar el trabajo.

Medidas de Tamaño del Efecto

Tamaño del Efecto Valoración Entre 0,2 y 0,3 Pequeño Alrededor de 0,5 Mediano Por encima de 0,8 Grande