U.D. 13 * 3º ESO E.AP. FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FUNCIÓN AFÍN U.D. 13.3 * 3º ESO E.AP. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FUNCIÓN AFÍN Las funciones de la forma: y = m.x + n Son funciones lineales y como tales se representan por una recta, pero con la salvedad de que no pasa por el origen (0, 0). Se llaman funciones afines y m es la pendiente. El valor de la ordenada para x=0 es n y se llama ordenada en el origen. EJEMPLO DE FUNCIÓN AFÍN: Al comprar una moto tenemos que dar una entrada de 100 € y luego pagar 50 € cada mes. Determinar la cantidad abonada en cualquier momento. RESOLUCIÓN: Si llevo x meses pagando la moto, habré abonado por ella: 100+50.x  y = 50.x + 100 Vemos que la pendiente, m, es 50 y la ordenada en el origen es 100. Si no fuera por los 100 € de entrada sería una función lineal. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN AFIN Sea  f(x) = mx+n El parámetro m es la pendiente de la recta, y n es la ordenada en el origen.  Tabla de valores: x y 0 n x1 y1 x2 y2 Gráficamente la función afín es una línea recta, pero con la particularidad de no pasar por el origen de coordenadas. y=f(x) y2 y1 0 x1 x2 x n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN AFÍN Observar que las funciones señaladas en color rojo son crecientes: Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y. En todas ellas el valor de la pendiente es positivo. m >0  F. Creciente. Observar que las funciones señaladas en color azul son decrecientes: Al aumentar el valor de x disminuye el valor de y. En todas ellas el valor de la pendiente es negativo. m < 0  F. Decreciente. y= -3x+1 y=x+1 y= -x/2 – 1 y=2x – 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

CÁLCULO DE LA PENDIENTE Si nos dan una función AFÍN en forma de Tabla de Valores o de Gráfico, podemos calcular su pendiente. Para ello sólo necesitamos conocer dos puntos de la Gráfica o dos pares de valores de la Tabla. m=Δy / Δx , siempre. Ahora, en lugar de saber que el (0, 0) es un punto de la gráfica podemos conocer como dato el punto (0, n) en las funciones afines. m= (y2 – y1 )/(x2 – x1) m= (y3 – y2 )/(x3 – x2) m= (y3 – y1 )/(x3 – x1) m= (y1 – n )/(x1 – 0) m= (y2 – n )/(x2 – 0) m= (y3 – n )/(x3 – n) y y1 y2 x x1 x2 0 x3 n y3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_1 Una caja de 40 chocolatinas nos ha costado 8 €. La misma caja conteniendo 60 chocolatinas nos ha costado 11 €. ¿Cuánto cuesta el envoltorio, si el precio de cada chocolatina de ambas cajas es el mismo?. Resolución analítica: Sea m el precio de cada chocolatina. Sea x la cantidad de chocolatinas. Sea n lo que cuesta el envoltorio. Función de proporcionalidad directa, pues a más chocolatinas cuesta más la caja y cada chocolatina vale siempre lo mismo: y = m.x +n 8 = m.40+n en una caja. 11 = m.60 + n en la otra caja. Sabemos que m = (11 – 8)/(60 – 40) = 3/20 = 0,15 € Luego 8 = 0,15.40 + n  8 = 6 + n  n = 8 – 6  n = 2 El envoltorio vale 2 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Una caja de 40 chocolatinas nos ha costado 8 €. La misma caja conteniendo 60 chocolatinas nos ha costado 11 €. ¿Cuánto cuesta el envoltorio, si el precio de cada chocolatina de ambas cajas es el mismo?. Resolución gráfica: 12 10 8 6 4 2 0 10 20 30 40 50 60 Nº Choc @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_2 Queremos llenar de agua una bañera. A los cuatro minutos de abrir el grifo tenemos 400 litros de agua en la bañera y a los seis minutos tenemos 500 litros en la bañera. ¿Tenía agua la bañera antes de abrir el grifo?. ¿Cuánta agua había?. ¿Cuánto tardará en llenarse del todo si admite 700 litros como máximo?. Resolución analítica: Sea m la cantidad de agua que arroja el grifo cada minuto. Sea x la cantidad de minutos que se abre el grifo. Sea y la cantidad de agua en la bañera. Función de proporcionalidad directa, pues a más tiempo más agua habrá en la bañera y cada minuto el grifo arroja la misma cantidad de agua. y = m.x +n 400 = m.4+n a los cuatro minutos. Calculamos la pendiente: m = (600 – 500)/(6 – 4) = 100/2 = 50 l/min Luego 400 = 50.4 + n  400 = 200 + n  n = 400 – 200  n = 200 Antes de abrir el grifo había 200 litros en la bañera. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Queremos llenar de agua una bañera. A los cuatro minutos de abrir el grifo tenemos 400 litros de agua en la bañera y a los seis minutos tenemos 500 litros en la bañera. ¿Tenía agua la bañera antes de abrir el grifo?. ¿Cuánta agua había?. ¿Cuánto tardará en llenarse del todo si admite 700 litros como máximo?. Resolución gráfica: Litros de agua 700 600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10minutos @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5 Tm y Ejemplo_3 En un almacén de trigo una cinta transportadora desaloja trigo de forma constante. A las cuatro horas de funcionar quedan 3 Tm en el almacén y a las 8 horas queda 1 Tm. Hallar la función que nos da en todo momento la cantidad existente en el almacén en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo debería funcionar para quedarse vacío el almacén?. ¿Qué cantidad había inicialmente en el almacén?. Si llamamos x al tiempo transcurrido, n a la cantidad inicial que había en el almacén, e y a la cantidad de trigo que queda en cualquier momento: y = n – m.x , siendo m la pendiente (cantidad que se desaloja cada hora). 3 – 1 2 m = ----------- = ----- = 0,50 8 – 4 4 Luego: 3 = n – 0,50.4  3 = n – 2  n = 5 Tm había en el almacén inicialmente. Para que se cumpla y = 0  0 = 5 – 0,50.x  0,50.x = 5  x = 10 horas 3 Tm 1 Tm x 0 2 4 6 8 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO PROPUESTO 4 Queremos comprar una consola para videojuegos que cuesta 300 €. Nos financian la compra, de modo que pagamos 50 € de entrada y 10 € cada mes, hasta un total de 30 meses. Estudiar una función que nos dé en todo momento la cantidad que hemos pagado por la consola. ¿Qué tipo de función resulta?. Calcular con la fórmula hallada cuánto hemos pagado al cabo de un año. ¿Y de dos años?. Con los datos anteriores construye el gráfico de la función. A la vista del gráfico, ¿cuándo habremos pagado ya los 300 € que valía?. (Tarea para casa) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO PROPUESTO 5 Un depósito está lleno de aceite. Se abre una válvula que transporta el aceite para su embasado en botellas de litro. A los 20 min de abrir la válvula en el depósito hay 45.000 litros. A las dos horas hay en el depósito 20.000 litros. Estudiar una función que nos dé en todo momento los litros de aceite que hay en el depósito. ¿Qué tipo de función resulta?. Calcular, con la fórmula hallada, cuántos litros habrá a las tres horas de abrir la válvula?. Con los datos anteriores construye el gráfico de la función. A la vista del gráfico, ¿cuántos litros tiene el depósito lleno?. ¿En cuánto tiempo se vaciará?. (Tarea para casa) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PARTICULARIDADES TODAS LAS FUNCIONES AFINES SON GRÁFICAMENTE RECTAS, PERO NO TODAS LAS RECTAS SON FUNCIONES. Si la ecuación resulta de la forma x=k La recta es Vertical. No podemos hablar de función lineal ni de función afín. No es una función, aunque exista representación gráfica y sea una recta. f(x)=n f(x)=m.x+n f(x)=m.x x=k @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO