Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 4 * 3º ESO E.Ap. PROPORCIONALIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 4.1 * 3º ESO E.Ap. RAZÓN Y PROPORCIÓN @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO RAZÓN Y PROPORCIÓN RAZÓN ENTRE DOS NÚMEROS La razón entre dos números, a y b, es el cociente de los mismos, a / b. EJEMPLOS La razón entre 12 y 4 es 12 / 4 o también 3. La razón entre 5 y 20 es 5 / 20 o también 0,25. PROPORCIÓN ENTRE CUATRO NÚMEROS Cuatro números, a, b, c y d, forman una proporción si se cumple: a c --- = --- b d donde los términos a y d se llaman extremos y los términos b y c medios. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

PROPIEDAD FUNDAMENTAL En cualquier proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios: a c --- = ---  a.d = b.c b d EJEMPLOS 3 6 ---- = ---  3.12 = 5.6  36 = 36  Es una proporción 6 12 7 5 ---- = ---  7.9 = 12.5  63 <> 60  NO es una proporción 12 9 - 2 5 ---- = ------  (-2).(-10) = 4.5  20 = 20  Es una proporción. 4 - 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

TÉRMINOS PROPORCIONALES OBTENCIÓN DE TÉRMINOS PROPORCIONALES Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones podemos hallar los términos desconocidos de una proporción. x c --- = ---  x.d = b.c  x = b.c / d b d EJEMPLOS: x 4 ---- = ---  x.12 = 9.4  x = 36 / 12 = 3 9 12 4 x ---- = ---  4.9 = x.x  x2 = 36  x = 6 , x = - 6 x 9 2 5 --- = ----  2.x = 4.5  x = 20 / 2 = 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO RAZÓN Una razón es la división entre dos cantidades comparables. Se escribe: a --- y se lee “a es a b” b Al número a se le llama antecedente. Al número b se le llama consecuente. Ejemplo: Una persona lee un libro de 250 páginas en 8 horas. Hallar la razón entre el número de páginas que lee y el tiempo que tarda. 250 ------ = 31,25 8 El resultado, 31,25, es la velocidad de lectura de dicha persona. Lee a razón de 31,25 páginas por hora. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PROPORCIÓN Una proporción es una igualdad entre dos razones. Se escribe: a c --- = ---- y se lee “a es a b como c es a d” b d PROPIEDAD FUNDAMENTAL En una proporción siempre se cumple: a.d = b.c O sea que el producto de medios (b y c) es igual al producto de extremos (a y d). Ejemplo 2,5 2 ----- = ----  2,5.4 = 5.2  10 = 10 , luego vemos que se cumple. 5 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJERCICIOS a) Hallar el valor de x, y, z en: x y z --- =---=--- , si x+y+z = 48 2 6 8 b) Hallar el valor de x, y, z en: 2 4 8 --- =---=--- , si x+y+z = 70 x y z a) Sabemos que, como en toda proporción, se cumple: x y z x +y+ z 48 --- =---=--- = -------------- = ----- = 3 2 6 8 2+6+8 16 Luego: x= 2·3 = 6, y = 6·3 = 18, z = 8·3 = 24 b) De igual manera: 2 4 8 2+4+8 14 1 --- =---=--- = --------- = ------ = --- = 0,2 x y z x+y+z 70 5 x= 2·5 = 10, y = 4·5 = 20, z = 8·5 = 40 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PROBLEMAS ¿Cuántos metros de barra de hierro necesitará un cerrajero para construir una verja que debe tener 68 barras, de las cuales la mitad han de tener una longitud de 1,75 metros y la otra mitad 0,25 metros menos? Sea x los metros de barras de 1,75 m cada una. Sea y los metros de barras de 1,5 m cada una. x y x+y ------ = ------ = ------------- = 34 1,75 1,50 3,25 Luego x = 1,75·34 = 59,5 m; y = 1,5·34 = 51 m Solución: x+y=110,5 m. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PROBLEMAS En la Selectividad dos institutos han obtenido los siguientes resultados: I.B. Miró: 240 aprobados de 300 presentados. I.B. Los Garres: 165 aprobados de 220 presentados. ¿Cuál de los dos centros ha obtenido mejor resultado?   240 / 300 = 24 / 30 = 8 / 10 = 0,80 165 / 220 = 33 / 44 = 3 / 4 = 0,75 El mejor resultado lo ha dado el IB Miró. En una empresa hay dos categorías de obreros. Al empezar el año se incrementa el sueldo de este modo: Categoría 1: de 800 € a 920 €. Categoría 2: de 1200 € a 1320 €. ¿Ha sido el aumento proporcional? 800 1200 ----- = -------  800·1320 = 920·1200  1056000 = 110400 , lo cual es FALSO 920 1320 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PROBLEMAS Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan: 3 huevos, 100 g de mantequilla, 120 g de chocolate y 60 g de levadura. ¿Qué cantidades serán necesarias para hacer una tarta de 8 raciones?. x y z t 8 ---- = ------ = ------- = ------ = ---- 3 100 120 60 6 x·6 = 3·8  x = 24 / 6 = 4 huevos y·6 = 100·8  x = 800 / 133,33 g de mantequilla z·6 = 120·8  x = 960 / 6 = 160 g de chocolate t·6 = 60·8  x = 480 / 6 = 80 g de levadura @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO