LOGICA LEYES LÓGICAS TAUTOLOGÍAS NOTABLES DERIVACIONES Mg. César Augusto POMA HENOSTROZA Noviembre de 2016

PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS La Identidad. Creado por el filósofo Parménides “Una cosa es idéntica a sí misma” A ≡ A A→A La no Contradicción. Atribuido a Platón “Es imposible que una cosa sea y no sea a la vez” ~ ( A  ~ A ) El Tercio Excluido. Fue descubierto por Aristóteles “Una cosa es o no es” No hay tercera posibilidad A v ~ A La Razón Suficiente. Fue ideado por Demócrito, aunque consideran también a Aristóteles Todo lo que ocurre es por alguna razón y cuando parece que los acontecimientos o las cosas no tienen explicación es porque la razón aún no la conocemos, o sea que hay una explicación racional para cada suceso.

LEYES LÓGICAS A) DE EQUIVALENCIA

Conmutación (CONM) Esta ley señala que los componentes de las formulas conjuntivas, disyuntivos débiles y bicondicionales, se pueden permutar (cambiar de orden a sus componentes) y el resultado será el mismo. Es decir: ( A Ù B ) º ( B Ù A ) ( A v B ) º ( B v A ) ( A ÛB ) º ( B Û A )

Doble negación (DN) Según este principio: "Toda doble negación equivale a una afirmación". Es decir, toda proposición doblemente negada equivale a una afirmación ~ ~ A º A ~~~ ~~ A º ~ A

Idempotencia (IDEM) Es decir: ( A Ù A Ù A Ù A Ù A )  A ( A v A v A v A v A v A )  A Ejemplo: ( ~ p v q ) v ( ~ p v q ) v ( ~ p v q )  ~ p v q

Asociatividad (ASOC)o Ley asociativa A Ù B Ù C º [ A Ù (B Ù C ) ] º [ ( A Ù B) Ù C] A v B v C º [ A v (B v C ) ] º [ ( A v B) v C] A Û B Û C º [ A Û (B Û C ) ] º [ ( A Û B) Û C] Ejemplo: ( p Ù q Ù r ) º [ p Ù(q Ù r ) ] Ù [ ( p Ù q) Ù r]

Leyes de De Morgan (DM) La negación a fórmulas conjuntivas y disyuntivas las convierte en su opuesto y afecta a todas las variables. A Ù B º ~ ( ~ A v ~ B ) A v B º ~ ( ~ A Ù ~ B ) ~ ( A Ù B ) º ~ A v ~ B ~ ( A v B ) º ~ A Ù ~ B

Definiciones del condicional Una formula condicional es equivalente a otras en los siguientes casos: a) A una fórmula disyuntiva débil cuyo primer elemento es negado. ( A ® B ) º ( ~ A v B ) b) A una fórmula conjuntiva negada cuyo segundo elemento es negado también. ( A ® B ) º ~ ( A Ù ~ B )

Definición de la bicondicional (Def.Bic.) Una fórmula bicondicional es equivalente a: a) A una conjunción de condicionales, donde la segunda condicional presenta sus componentes invertidos. ( A Û B ) º [ ( A ® B ) Ù (B ® A ) ] b) A una disyunción de conjunciones, donde la segunda conjunción presenta sus componentes negados. ( A Û B ) º [ ( A Ù B ) v ( ~ A Ù ~ B ) ]

La transposición (Transp) Es aplicable solo en formulas condicionales y bicondicionales (a este último se le llama transposición simétrica). Según este principio, estos esquemas son equivalentes a si mismas, pero con sus componentes invertidos y negados. a) ( A Û B ) º ( ~ B Û ~ A ) b) ( A ® B ) º ( ~ B ® ~ A )

B) TAUTOLOGÍAS NOTABLES

a) Modus Ponendo Ponens (MPP) Modus Ponens (MP): Estructura : Premisa 1 A ® B Premisa 2 A Conclusión //\ B Si afirmamos el antecedente de una premisa condicional, entonces podemos llegar a la conclusión de afirmar su consecuente

b) Modus Tollendo Tollens (MTT) Estructura P1) A ® B P2) ~ B //\ ~ A Si negamos el consecuente de una premisa condicional, entonces podemos concluir en la negación de su antecedente

c) Silogismo Disyuntivo (SD) a) P1) A v B P2) ~ A //\ B b) P1) A v B P2) ~ B //\ A Si negamos uno de los miembros de una premisa disyuntiva, entonces podemos concluir en la afirmación del otro miembro

d) Silogismo Hipotético puro (SHP) P1) A ® B P2) B ® C //\ A ® C De dos o fórmulas condicionales, se concluye el antecedente del primer condicional con el consecuente del último condicional, unidos por una condicional

e) Simplificación (Simp) a) P1) A Ù B //\ A b) P1) A Ù B //\ B Según esta ley, de una premisa conjuntiva se puede concluir en cualquiera de sus miembros.

f) Conjunción CONJ P1) A P2) B //\ A Ù B Esta ley establece que de un conjunto de premisas se puede concluir en la conjunción de ellas

g) Principio de Adición (AD): P1) A //\ A v B Según este principio, se puede agregar o adicionar cualquier fórmula a las existentes pero el operador de enlace debe ser una disyunción débil

DERIVACIONES P1) p P2) p® q P3) ~ r ® ~ q P4) s v ~ r // s 5) MPP (2-1) q 6) MTT (3-5) ~ ~ r 7) DN (6) r 8) SD (4-7) s FORMULA VALIDA

RUEBA DIRECTA (PD) P1 ~ s ® ~ r P2 ~ ( p ® s ) P3 p ® ( ~ q ® r) //\q Def.Cond.(2) D.M. (4) SIMP. (5) MPP (1-6) MPP (3-8) MTT (7-9) D.N. (10)

PRUEBA CONDICIONAL (PC) P1 r ® t P2 p ® q P3 s Ú p P4 s ® r //\~ q ® t 5 PA ~ q 6 MTT (2-5) ~ p 7 S.D (3-6) s 8 MPP (4-7) r 9 MPP (1-8) t 10 P.C. (5-9) ~ q ® t  

REDUCCIÓN AL ABSURDO (R.A) 1. Se niega la conclusión y se introduce como premisa adicional (P.A). 2. Se realiza la derivación hasta conseguir una contradicción. 3. Se une la premisa adicional con la contradicción hallada condicionalmente (P.C.) 4. Se establece la conclusión, sobre la base del paso o anterior, por R.A. Ejemplo: P1 ~ q P2 ~ p ® q P3 r ® ~ p // ~ r P4 P.A r P5 MPP (3-4) ~ p P6 MTT (2-1) p P7 CONJ (6-5) p Ù ~ p P8 P.C. (4-7) r ® ( p Ù ~ p ) P9 R.A. (8) ~ r

TRABAJO DE DERIVACIONES PRUEBA DIRECTA 1.- P1)  q  r P2)  q   s P3) s ( q  t) P4) r   p P5)  q //q  t

2.- P1) (p  q) P2) t  r P3) p r//  t  r

3.- P1) q P2) r P3) sp P4) PV (q   r) P5) (r  q)  s//q r

4.- P1) s  r P2)  (p  s) P3) p  (q  r) //q

5.- P1) ( p   q)  r P2)  ( r  t) //p  q

P2) p  q P3) s  p P4) s  r //  q  t PRUEBA CONDICIONAL (D. C.) 1.- P1) r  t P2) p  q P3) s  p P4) s  r //  q  t

REDUCCIÓN AL ABSURDO (RA)