LÍMITE Y CONTINUIDAD U.D. 4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

LÍMITES EN UN PUNTO Y EN EL INFINITO U.D. 4.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LIMITE de una función f en un punto x=a, cuando x tiende a “a” es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor “a” lím f(x) xa Una función f tiene límite L en el punto xo si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a xo, la sucesión de sus correspondientes imágenes f(x) tiende a L, y se expresa: lím f(x) = L xxo EJEMPLO: lím x2 = 22 = 4 x2 Sucesión de x : 1’9, 1’99, 1’999, … Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’96, 3’98, 3’99, … @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

FUNCIONES SEGÚN EL LÍMITE Una función que tiene límite se llama función CONVERGENTE. Una función que no tiene límite se llama función DIVERGENTE. Nota: No se considera válido como límite el +/- oo. Una función que presenta dos límites diferentes se llama función OSCILANTE. EJEMPLOS: lím (3.x2 +1) / x2 = 3  FUNCIÓN CONVERGENTE EN EL oo xoo lím e 2 / (x-1) = e 2 / 0 = e 00 = oo  FUNCIÓN DIVERGENTE EN x=1 x1 lím (- 1)n = +/- 1  FUNCIÓN OSCILANTE, donde Domf(x) = N noo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PROPIEDADES OPERATIVAS a) Si existe límite, éste debe ser único. b) El límite de una suma/resta de funciones es la suma/resta de los límites: lím (f(x) +/- g(x)) = lím f(x) +/- lím g(x) xa xa xa d) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites: lím (f(x) . g(x)) = lím f(x) . lím g(x) xa xa xa e) El límite de una división de funciones es la división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = lím f(x) / lím g(x) xa xa xa f) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) lím g(x) lím (f(x)) = (lím f(x ) xa xa xa g) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log f(x) = Log lím f(x) xa b b xa @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

LÍMITES LATERALES En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, … 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L1 xxo+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L2 xxo-- Una función f tiene límite en un punto xo si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO Si representamos la función y = x /(x – 3) vemos que cuando x vale 3 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo = 3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo = 3. x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x3+ x - 3 +0 pues x vale algo más de 3. lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x3- x - 3 - 0 pues x vale algo menos de 3. Y 1 0 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Y -2 0 2 x Otro ejemplo: Si representamos la función y = x / ( x2 - 4) vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2. x 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x2+ x2 - 4 +0 pues x vale algo más de 2 y x2 > 4 x 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ------ = - oo x2- x2 - 4 - 0 pues x vale algo menos de 2 y x2 < 4 x - 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x- 2+ x2 - 4 - 0 pues x vale algo más de – 2 y x2 < 4 x - 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x- 2- x2 - 4 + 0 pues x vale algo menos de – 2 y x2 > 4 Y -2 0 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

LIMITES EN EL INFINITO LIMITES EN EL INFINITO El límite de una función f, cuando x tiendo a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a 00, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L x ± oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. Ejemplo: y = x/( x-3) del ejemplo anterior Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = 100000  y = 1,00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ASÍNTOTAS VERTICALES ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x 2 x  2 x = 2 es una Asíntota Vertical. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ASÍNTOTAS OBLICUAS ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x f(x) x2– 3 m = Lím ------ = Lím -------- = 1 ; n = Lím [ f(x) – m.x ] = 0 x oo x x oo x2 xoo La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Límite por la derecha de 0: x2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo Y 1 Gráfica Ejemplo 1 x2 – 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0- x - 0 0 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

(Variación del Ejemplo 1) x2 + 3 f(x) = -------- x Gráfica Ejemplo 2 (Variación del Ejemplo 1) x2 + 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 + 3 +3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x2 + 3 + 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0- x - 0 Y Mín 0 3 x Max @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.