33 OLIMPIADA MATEMÁTICA THALES La tabla mágica Fase Regional 18 de Mayo de 2017

Problema 6: La tabla mágica Se disponen unos números en la siguiente tabla: Nos fijamos en el cuadrado señalado en la trama de números formados por dos filas y dos columnas consecutivas. Si multiplicamos en cruz los números que forman el cuadrado, y al mayor de los dos valores le restamos el menor, se obtiene de resultado 6. = 8·7 - 5·10 = 6 a) ¿Ocurrirá lo mismo con cualquier cuadrado de la trama formado por dos filas y dos columnas consecutivas? Razona tu respuesta. b) Si nos fijáramos ahora en cualquier cuadrado formado por tres filas y tres columnas consecutivas y multiplicamos en cruz los números que forman las esquinas y al mayor resultado le restamos el menor, ¿se obtendría siempre el mismo resultado? ¿Cuál sería este resultado? Razona tus respuestas. Solución

Solución a) ¿Ocurrirá lo mismo con cualquier cuadrado de la trama formado por dos filas y dos columnas consecutivas? Razona tu respuesta. Elijamos otro cuadrado cualquiera y veamos si ocurre lo mismo. = 15·14 – 12·17 = 210 – 204 = 6 Enunciado

Solución Enunciado Las columnas van aumentando de 2 en 2. a) ¿Ocurrirá lo mismo con cualquier cuadrado de la trama formado por dos filas y dos columnas consecutivas? Razona tu respuesta. Para buscar un razonamiento lógico, veamos como está construida la tabla: Las columnas van aumentando de 2 en 2. Las filas van aumentando de 3 en 3. Enunciado

Solución a) ¿Ocurrirá lo mismo con cualquier cuadrado de la trama formado por dos filas y dos columnas consecutivas? Razona tu respuesta. Luego cualquier cuadrado de la trama formado por dos filas y dos columnas consecutivas será de la forma: Enunciado

Solución a) ¿Ocurrirá lo mismo con cualquier cuadrado de la trama formado por dos filas y dos columnas consecutivas? Razona tu respuesta. Veamos si al multiplicar en cruz los números que forman el cuadrado, y al mayor de los dos valores le restamos el menor, se obtiene de resultado 6. = 𝑥+3 · 𝑥+2 −𝑥· 𝑥+5 = 𝑥 2 +2𝑥+3𝑥+6− 𝑥 2 −5𝑥= 6 Luego si ocurrirá lo mismo con cualquier cuadrado de la trama. Enunciado

Solución b) Si nos fijáramos ahora en cualquier cuadrado formado por tres filas y tres columnas consecutivas y multiplicamos en cruz los números que forman las esquinas y al mayor resultado le restamos el menor, ¿se obtendría siempre el mismo resultado? ¿Cuál sería este resultado? Razona tus respuestas. Elijamos un cuadrado cualquiera de la trama. Enunciado

Solución b) Si nos fijáramos ahora en cualquier cuadrado formado por tres filas y tres columnas consecutivas y multiplicamos en cruz los números que forman las esquinas y al mayor resultado le restamos el menor, ¿se obtendría siempre el mismo resultado? ¿Cuál sería este resultado? Razona tus respuestas. Multipliquemos en cruz los números que forman las esquinas. =15·13−9·19= 195−171 =24 Enunciado

Solución b) Si nos fijáramos ahora en cualquier cuadrado formado por tres filas y tres columnas consecutivas y multiplicamos en cruz los números que forman las esquinas y al mayor resultado le restamos el menor, ¿se obtendría siempre el mismo resultado? ¿Cuál sería este resultado? Razona tus respuestas. Razonemos del mismo modo que en el apartado anterior y veamos si siempre se obtiene 24. = 𝑥+6 · 𝑥+4 −𝑥· 𝑥+10 = = 𝑥 2 +4𝑥+6𝑥+24− 𝑥 2 −10𝑥 =24 Luego siempre se obtendría el mismo resultado, siendo éste de 24. Enunciado

Resumiendo Solución Enunciado a) ¿Ocurrirá lo mismo con cualquier cuadrado de la trama formado por dos filas y dos columnas consecutivas? Resumiendo Sí, siempre se obtendrá 6 como resultado. b) Si nos fijáramos ahora en cualquier cuadrado formado por tres filas y tres columnas consecutivas y multiplicamos en cruz los números que forman las esquinas y al mayor resultado le restamos el menor, ¿se obtendría siempre el mismo resultado? ¿Cuál sería este resultado? Sí, siempre se obtendrá 24 como resultado. Hemos encontrado las soluciones, pero, ¿habrá más formas de conseguirlas? Enunciado