ÁREAS Y VOLÚMENES U. D. 9 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CUERPOS DE REVOLUCIÓN U. D. 9.2 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CILINDRO Un cilindro es el cuerpo de revolución generado por un rectángulo al girar en torno a cualquiera de sus lados. El lado que apoya en el eje de giro se convierte en la altura del cilindro. El otro lado hace de radio del círculo que se genera al girar. El círculo que se genera será la base del cilindro. Generatriz de un cilindro es cualquier recta de la superficie generada perpendicular a las bases. También se genera al girar un rectángulo en torno a uno cualquiera de los ejes de simetría de dicho rectángulo. b g h a r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejercicio_1 Un rectángulo de dimensiones 6 cm y 8 cm gira el torno a uno de sus lados, produciendo un cilindro. Hallar el área de la base, el área lateral y el total. (Nota: Dibujar los dos cilindros). CASO 1: Generatriz = 8 cm Ab = л.r2 =3,14.36= 113,10 cm2 Al = 2л.r.h =2.3,14.6.8= 301,59 cm2 At= 2.Ab +Al = 2.113,10+301,59= 527,79 cm2 CASO 1: Generatriz = 6 cm Ab = л.r2 =3,14.64= 201,06 cm2 At= 2.Ab +Al = 2.201,06+301,59= 703,71 cm2 b g h a r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CONO Un cono es el cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno cualquiera de sus catetos. El cateto que apoya en el eje de giro se convierte en la altura del cilindro. El otro cateto hace de radio del círculo que se genera al girar. Ese círculo que se genera es la base del cilindro. La hipotenusa del triángulo rectángulo se convierte en la GENERATRIZ, que es el radio del sector circular que forma la superficie lateral del cono. Por tanto: g2 = h2 + r2 g g h r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejercicio_2 Un triángulo rectángulo de catetos 6 cm y 8 cm gira el torno a uno de ellos, produciendo un cono. Hallar el área de la base, el área lateral y el total. (Nota: Dibujar los dos conos) CASO 1: Altura del cono = 8 cm Generatriz: g = 10 cm por Pitágoras. Ab = л.r2 =3,14.36= 113,10 cm2 Al = л.r.g =3,14.6.10 = 188,50 cm2 At= Ab +Al = 113,10+188,50= 301,60 cm2 CASO 1: Altura del cono = 6 cm Ab = л.r2 =3,14.64= 201,06 cm2 Al = л.r.h =3,14.8.10= 251,33 cm2 At= Ab +Al = 201,06+251,33= 452,39 cm2 g g h r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRONCO DE CONO Un tronco de cono es el cuerpo de revolución generado por un trapecio rectángulo al girar en torno al lado perpendicular a las bases. El lado que apoya en el eje de giro se convierte en la altura del tronco de cono. Las bases mayor y menor del trapecio se convierten en los radios (R y r) de los círculos que forman las bases del tronco de cono. El lado oblicuo del trapecio se convierte en la generatriz del tronco de cono. Por el Teorema de Pitágoras: g2 = h2 + (R – r)2 r g h g h r R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejercicio_3 Hallar el área lateral del tronco de cono cuyos radios, R y r, miden 9 cm y 6 cm respectivamente y cuya altura es de 4 cm. Resolución El área lateral del tronco de cono será la diferencia de las áreas laterales del cono original y del pequeño cono superior que se ha cortado, como se ve en la figura. El área lateral del cono principal será: Al = π·R·G El área lateral del cono extraído será: Al = π·r·g’ El área lateral del tronco de cono será: Al = π·R·G – π·r·g’ Habrá que hallar G y g’. g’ G=g+g’ r g g h h r R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

…Ejercicio_3 Datos: R = 9, r = 6 y h = 4. … Resolución El área lateral del tronco de cono será: Al = π·R·G – π·r·g’ Habrá que hallar G y g’. Podemos hallar g por Pitágoras: g2 = h2 + (R – r)2 = 42 + (9 – 6)2  g = 5 cm Vemos que los triángulos están en posición de Tales, por lo que son semejantes: R/G = r/g’  9 / G = 6 / g’ También sabemos que G – g’ = g = 5 cm Luego: 9 / (5 + g’) = 6 / g’ 9·g’ = 30 + 6·g’  3·g’ = 30  g’ = 10 Como G = g+g’  G = 5+10 = 15 Al = π·9·15 – π·6·10 = 75·π cm2 g’ G=g+g’ r g g h h r R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.